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La inclusión de ideas fundamentales para el desarrollo de un razonamiento algebraico, desde etapas tempranas de la educación, es un tema que ha sido intensamente investigado a nivel internacional. Como resultado, diversos currículos de matemáticas han comenzado a incluir en sus propuestas una variedad de objetos y procesos matemáticos asociados a la introducción de este tipo de razonamiento en los primeros grados educativos. El objetivo de este artículo es caracterizar el razonamiento algebraico, en términos de niveles de algebrización, pretendido en libros de texto de educación básica en Chile. Los resultados evidencian la existencia de problemas aritméticos que promueven niveles incipientes de algebrización; además, se identifican prácticas matemáticas de naturaleza algebraica, donde la finalidad radica principalmente en generar el término general de una secuencia, resolver ecuaciones de primer grado o transformar (reducir) expresiones algebraicas. Finalmente, se propone una categorización de problemas que permiten promover diversos niveles de algebrización en la educación básica.

El objetivo de este artículo es presentar un análisis de los ciclos de modelación que estudiantes del primer cuatrimestre de la licenciatura en contabilidad y licenciatura en administración de empresas y negocios construyeron, al realizar una actividad provocadora de modelos [MEA]; derivado de este análisis se propone una guía que permita evaluar modelos construidos por estudiantes al resolver MEAs, donde subyace el concepto de función. Este estudio se fundamentó en la Perspectiva de Modelos y Modelación y el Marco Con- ceptual de Razonamiento Covariacional. La metodología fue cualitativa, participaron diez alumnos con edades entre 23 y 32 años. Los resultados muestran que los estudiantes exhibieron ideas de linealidad en sus primeros modelos, los cuales evolucionaron para convertirse en modelos exponenciales; al mismo tiempo, el razonamiento covariacional de los estudiantes se modificó, amplió y refinó a través de distintos niveles.

En este artículo se reportan los resultados de un trabajo realizado con 38 estudiantes de una institución educativa pública colombiana, en los que se analizó el desarrollo de su razonamiento algebraico elemental, usando patrones y secuencias numéricas o geométricas. El trabajo se desarrolló en tres fases: diagnóstica, interventiva y de contraste, además, durante el desarrollo de cada prueba se hicieron entrevistas basadas en las tareas que resolvían los estudiantes. Los resultados muestran que las soluciones iniciales atendían una heurística: identificar una regla recursiva, que utilizaban para encontrar un término faltante, la que expresaban en lenguaje numérico, natural o icónico, utilizando objetos extensivos y procesos aritméticos. La implementación de la propuesta, permitió en los estudiantes, un aumento progresivo del poder heurístico en la resolución de problemas, dando variadas y ricas soluciones a las actividades que se les plantearon. Algunos lograron generalizar patrones utilizando lenguaje natural o simbólico–literal. Se puede concluir que la actividad matemática de la mayoría de los estudiantes se ubica entre los niveles cero al dos de algebrización, destacándose, los niveles uno y el proto–algebraicos de nivel dos, solucionando problemas de valores faltantes, sin llegar a modificar las expresiones algebraicas producidas.

A partir de una definición informal de “perspectiva integradora” para la enseñanza de las matemáticas, este artículo propone diversos aspectos pasibles de integración y ejemplifica brevemente posibles vías de implementación en la escuela secundaria. La integración propuesta se refiere a aspectos usualmente disociados entre sí y en algunos casos hasta ignorados: diversos contenidos matemáticos (usualmente abordados como compartimentos estancos); conceptos y procedimientos; intuición y formalismo; matemáticas y la vida cotidiana. Concluimos reflexionando acerca de los posibles desafíos que presentaría la implementación de esta perspectiva.

espanolEn esta investigacion se formulo la siguiente pregunta: ?Que aspectos del razonamiento de los estudiantes sobre la variabilidad emergen mediante su actividad en la resolucion de problemas ubicados en un contexto de riesgo? Para responderla se diseno un cuestionario basado en dos problemas de comparacion de conjuntos de datos en contexto de riesgo, uno sobre un juego hipotetico y otro sobre tratamientos medicos. Los problemas fueron respondidos por 59 alumnos de bachillerato de 16 a 17 anos de edad que aun no habian tomado el curso de Estadistica y probabilidad. Con base en la taxonomia solo y en las respuestas de los participantes, se propuso una jerarquia para definir los principales niveles de razonamiento presentes en las respuestas. Se muestra que el desarrollo del razonamiento en sus niveles mas bajos solo considera un valor de cada conjunto, y en sus niveles mas altos articula varios datos de cada conjunto e integra consideraciones sobre la variabilidad, en particular, en forma de riesgo. En el analisis de las respuestas se revela la importancia de que los estudiantes consideren la media aritmetica. EnglishIn this research, the following question was raised: What aspects of students’ reasoning on the variability emerge through their activity in the resolution of problems in a risk context? To answer it, a questionnaire was designed based on two problems about comparing groups in risk context, one about a hypothetical game and another on medical treatments. The problems were answered by 59 high school students (16 to 17 years old) who had not yet taken a Statistics and probability course. Based on the solo taxonomy and in the participant’ answers, a hierarchy was proposed to define the main reasoning levels present in the answers. It is shown that the development of reasoning in its lowest levels only considers one value of each group, and at their highest levels articulates several data of each group and integrates considerations about the variability, interpreted like risk. The analysis of the answers shows the importance that students consider the arithmetic mean.

espanolEl aprendizaje de la programacion por medio de los ordenadores constituye una gran ventaja a nivel de competencias en la epoca actual. Ademas, en un sentido estrictamente educacional, la programacion puede dotar a los alumnos que la estudian y practican de una mayor capacidad de razonamiento logico, pensamiento estructurado o incluso una mayor imaginacion. Asi pues, el primer objetivo de este trabajo es revisar algunos estudios que senalan las multiples ventajas que puede suponer para el alumnado el aprendizaje de la programacion durante su educacion secundaria. El segundo y principal objetivo es plantear el uso de uno de los lenguajes de programacion mas populares del momento, el R, como una herramienta para tratar contenidos propios de la asignatura de Matematicas. Esto es especialmente interesante debido a la presencia de contenidos en el curriculo que se prestan claramente al diseno de algoritmos y a una experimentacion mayor que la que permite la ensenanza tradicional. Esta metodologia de aprendizaje fue puesta en practica con 33 alumnos espanoles de entre 14 y 15 anos de edad, los cuales utilizaron el lenguaje R para tratar cuestiones relativas a la resolucion de ecuaciones polinomicas. La experiencia permitio comprobar grandes ventajas de la metodologia, aunque tambien algunas desventajas para ciertos alumnos, debido a la complejidad intrinseca de la programacion, como se desprendio del analisis correlacional de la encuesta realizada a los mismos. En cualquier caso, estas desventajas podrian subsanarse mediante una aplicacion de la metodologia mas prolongada en el tiempo. EnglishLearning to program using computers constitutes a great advantage for students in order to gain competencies nowadays. Furthermore, programming can help them to develop skills such as logical reasoning, structured and/or even creative thinking from an educational point of view. Therefore, the first objective of this work is to review several studies that discuss the multiple benefits that students can obtain from learning to program in secondary education. The second and main purpose of this study seeks to show the possibility of learning mathematical concepts with the aid of one of the most popular programming languages currently available, R. This is especially interesting because some mathematical contents in the curriculum are easy to teach via algorithmic design and experimentation. Besides, these contents are unable to be taught in this way when using traditional teaching methods. This learning methodology was tested with 33 students from Spain aged 14-15 years, which used the R programming language to study polynomial equations. The experience provided sufficient information for observing great advantages and yet some disadvantages for certain students due to the intrinsic complexity of programming, as it was revealed through the correlational analysis of the survey that was taken by the participants. In any case, these disadvantages would likely be solved by a longer implementation of the methodology.

El presente artículo analiza la argumentación sustancial realizada por estudiantes de 15 a 17 años de Nivel Medio Superior en problemas contextualizados evocados desde un enfoque cognitivo, en las unidades de aprendizaje de Álgebra y Cálculo Diferencial. Este enfoque se adopta, desde el análisis funcional y estructural del razonamiento, que permite evidenciar mecanismos discursivos por medio de los cuales un razonamiento puede cambiar la certeza y validez de las proposiciones. Como resultado, se identificaron elementos que caracterizan a la argumentación sustancial en problemas contextualizados evocados y la presencia de conectivos organizativos para mostrar la fuerza de los argumentos y su orientación hacia el enunciado-objeto. En términos generales los alumnos desarrollaron procesos intuitivos para establecer conjeturas y la posibilidad de construir proposiciones para emitir afirmaciones razonadas. La etnografía, modelo particular de la investigación cualitativa, se utilizó para el análisis de registros y transcripciones de las clases. Es relevante hacer mención que en el presente escrito sólo se analiza un problema contextualizado.

En este trabajo presentamos los resultados obtenidos en una actividad realizada en clase que se enmarca en el paradigma de investigación en el aula. Catorce estudiantes españoles del nivel de secundaria, de dos cursos distintos, realizaron en clase una actividad docente diseñada para el aprendizaje de conceptos inferenciales básicos. El análisis de los resultados obtenidos nos ha permitido conocer algunos aspectos del pensamiento probabilístico de estos alumnos, particularmente los que se refieren a su comprensión de los conceptos de población y muestra y sus relaciones, su concepto de espacio muestral, sus concepciones sobre el proceso inferencial así como las heurísticas que utilizan en el razonamiento de tipo inferencial.

En este trabajo se trata de proporcionar algunas respuestas a las siguientes preguntas: ¿qué papel juega la Combinatoria en Probabilidad y en Matemática Discreta? ¿Es la capacidad combinatoria solo un instrumento matemático o es un componente fundamental del razonamiento lógico? ¿Hay variables de área que afecten a los procedimientos y errores de los alumnos al resolver problemas combinatorios? ¿Cómo deberíamos considerar estas variables en la enseñanza y evaluación? Se presenta, asimismo, un cuestionario para evaluar el razonamiento combinatorio y los resultados obtenidos al aplicarlo a una muestra de 720 alumnos, de 14 y 15 años. Esta información puede ser útil a profesores y a investigadores en Educación Matemática interesados en la enseñanza del análisis combinatorio.

En este artículo se resume un trabajo de investigación sobre la introducción a la noción de fracción a partir de problemas de reparto, en el que se muestran las estrategias utilizadas por niños de 1º y 2º para hacer repartos de superficies (pasteles) entre 2, 4 y 3 niños. Se muestran algunas de las hipótesis de los niños sobre la equivalencia o no equivalencia de algunas fracciones, los argumentos que manifiestan para defenderlas, a través de los cuales se pueden detectar importantes obstáculos que impiden a los alumnos concebir dicha equivalencia aun en los casos más simples como la comparación entre 1/2 y 2/4. Se destaca la importancia de plantear a los alumnos situaciones didácticas que involucren a la fracción, en las que se les permita expresar sus ideas, defenderlas, probarlas e intentar probar los errores de los otros, antes de llegar a la representación simbólica convencional de la fracción.

A lo largo de este articulo queremos ofrecer una visión general que sirva de toma de contacto con el "Modelo de Razonamiento Geométrico de Van Hiele“. Como indica su nombre, esta teoría de aprendizaje describe las formas de razonamiento de los estudiantes de Geometría. Aunque puede pensarse que el tipo de razonamiento es el mismo en cualquier parte de las Matemáticas, esto no es del todo cierto, pues las características propias de las distintas áreas (Aritmética, Algebra, Geometría, etc.) marcan notables diferencias; de hecho, ha habido intentos de aplicar el Modelo de Van Hiele fuera de la Geometría, pero en general han tenido escaso éxito. El objetivo principal de estas páginas es acercar esta teoría a los profesores de Matemáticas y a su práctica cotidiana, con el fin de que les pueda servir como orientación en el diseño de las actuaciones (suyas y de sus alumnos) en las clases de Geometría a lo largo del Curso.