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In this exploratory study, we seek to contrast the content-related pedagogical reasoning shown by prospective and experienced teachers – i.e., their reasoning for or against the use of subject-matter representations that draw on content knowledge or pedagogical content knowledge. We conducted think-aloud interviews with seven prospective teachers and seven experienced teachers based on a situation of planning to teach with a specific task. The teachers’ pedagogical reasoning was analysed by means of content analysis. The data showed that expert teachers engage substantially more in content-related pedagogical reasoning than novices. In particular, expert teachers’ reasoning is predominantly based on their knowledge of content and students and on curricular knowledge.

Accurate diagnostic judgments from teachers are important in education, e.g., for providing feedback to students that supports learning. Explaining diagnostic judgment requires understanding of the components of cognitive processes underlying judgment formation. Many aspects ascribed to these components are specific to a particular domain, like physical education. In the physical education domain, research on judgment accuracy and cognitive processes of judgment formation is scarce, and not substantially driven and reflected by theory. In this paper, we provide a theoretical framework on cognitive processes of judgment formation for physical education, with the aim to support guiding and pooling of future research activities in this domain. In addition, this framework serves as a heuristic example to other domains which may want to adopt it according to their needs.

Diagnostics is an essential part of teachers’ profession. We investigated judgement accuracy and cognitive processes of judgment formation in physical-education teachers who observed exercises in gymnastics, and compared teachers with gymnastics trainers as a reference group. Judgment accuracy was lower in teachers compared to trainers, and agreement on the ratings was lower among teachers than among trainers. Agreement about the temporal structuring of the exercises was lower among teachers than trainers. We discuss these findings in context of the task to perform accurate judgments, and discuss the relevance of movement phases, their features, and their functionality for teacher training.

Das Konzept von Unterrichtsqualität und Kriterien, die dabei helfen, diese durch Beobachtung festzustellen, haben sich über viele Jahrzehnte in der Lehrkräftebildung überall dort entwickelt, wo das Bedürfnis bestand, das Handeln der Lehrkräfte, die Unterrichtsqualität und das resultierende Lernen von Schülerinnen und Schülern systematisch und (oft) optimierend in den Blick zu nehmen. Es entwickelten sich in Forschung und Praxis eine Vielzahl von kriteriengeleiteten Kategoriensystemen für die Unterrichtsbeobachtung. Für beide Perspektiven gilt gleichermaßen: Unterrichtsqualität wird nicht als objektives Merkmal angesehen, sondern als ein Konstrukt, dessen Dimensionen und Kriterien im Dialog und mit Blick auf seine intendierte Funktion ausgehandelt werden. In den letzten Jahren findet man vermehrt Anstrengungen, diesen Dialog nicht nur innerhalb der Systeme Wissenschaft und Praxis zu führen, sondern die Perspektiven zu verschränken. In diesem Beitrag werden solche überbrückenden Perspektiven an Beispielen aufgezeigt und diskutiert.

ZusammenfassungDer Beitrag gibt einen kurzen Überblick über die Diskussion (und aktuelle Forschung) zur Fachspezifität von Unterrichtsqualität aus der Perspektive der Mathematikdidaktik. Sowohl theoretische als auch empirische Argumente verdeutlichen, dass bei einer Konzeptualisierung von Unterrichtsqualität fachspezifische Aspekte nicht außer Acht gelassen werden sollten. Die Berücksichtigung fachspezifischer Aspekte bezieht sich derzeit meist auf die Spezifizierung von Kriterien bei der Erfassung Unterrichtsqualität durch Ratings. Wir argumentieren jedoch, dass Kriterien dabei nicht die einzige relevante Varianzquelle darstellen, in der sich Fachspezifität niederschlägt. Um der Fachspezifität von Unterrichtsqualität systematisch auf die Spur zu kommen, schlagen wir daher eine mehrdimensionale Perspektive auf die Fachspezifität von Unterrichtsqualität als Grundlage für empirische Forschungsstrategien vor. Demnach zeigt sich die Fachspezifität von Unterrichtsqualität in unterschiedlichen Varianzquellen (Kriterien, Situationen, Ratern), die sich durch verschiedene Grade an Fachspezifität systematisch auf die eingeschätzte Unterrichtsqualität auswirken können. Insbesondere illustrieren wir anhand eines Beispiels, wie das fach- und inhaltsbezogene Wissen von Ratern (und damit die Fachspezifität von Ratern) ihre Interpretationen von Kriterien und Unterrichtssituationen beeinflussen und sich systematisch in ihren Einschätzungen von Unterrichtsqualität niederschlagen können.

ZusammenfassungBisherige Untersuchungen zu kognitiv aktivierendem Unterricht belegen überwiegend positive Effekte auf die Leistungsentwicklung der Schülerinnen und Schüler. Jedoch wird die Wirkung eines solchen Lernangebots bei leistungsschwächeren Lernenden selten untersucht. Der Fokus des vorliegenden Beitrags liegt daher auf der Nutzung und Wirkung kognitiv aktivierenden Unterrichts bei Schülerinnen und Schülern an Haupt- und Realschulen. Es wurde untersucht, (1) ob es einen Zusammenhang zwischen der beobachteten kognitiven Aktivierung und dem Ausmaß selbstberichteter kognitiver Aktivität der Schülerinnen und Schüler gibt und (2) ob sich die in den beobachteten Unterrichtsstunden erzielten Lernzuwächse der Schülerinnen und Schüler mit dem Ausmaß kognitiver Aktivierung im Unterricht und der selbstberichteten kognitiven Aktivität erklären lassen. Dazu wurden 60 videographierte Mathematikstunden hinsichtlich ihres Ausmaßes an kognitiver Aktivierung hochinferent bewertet, die entsprechenden Schülerinnen und Schüler (N = 608) aus der achten Jahrgangsstufe an Haupt- und Realschulen zu ihrer kognitiven Aktivität im Unterricht befragt sowie ihre Leistung im Prä-Post-Design erfasst. Die Vorhersage der kognitiven Aktivität bzw. des Leistungszuwachses wurde mithilfe eines Mehrebenen-Designs untersucht. Erwartungswidrig zeigte sich Evidenz für die Nichtexistenz eines Zusammenhangs zwischen kognitiver Aktivierung und kognitiver Aktivität, jedoch bestätigen die Ergebnisse die Annahme, dass der Leistungszuwachs der Schülerinnen und Schüler unter anderem durch das Ausmaß kognitiver Aktivierung in den Lernbegleitungsphasen moderiert wird. Implikationen für die weitere Forschung werden diskutiert.

ZusammenfassungDer Forschungsstand zu diagnostischen Kompetenzen von Lehrkräften – als wesentliche Voraussetzung für Feedback oder adaptives Unterrichten – wird zurzeit als unbefriedigend angesehen, da kaum überzeugende Theorien über die kognitiven Prozesse bei der Genese diagnostischer Urteile bestehen. An dieser Stelle setzt das Rahmenmodell DiaCoM (Explaining Teachers’ Diagnostic Judgements by Cognitive Modeling) an. Das DiaCoM-Rahmenmodell bietet eine theoretische Basis für Forschungsansätze, die diagnostische Urteile von Lehrkräften als Informationsverarbeitungsprozesse erklären wollen. Es konzeptualisiert diagnostisches Urteilen in Bildungskontexten als kognitive Prozesse einer Lehrkraft über Schülerinnen und Schüler (z. B. deren Fähigkeit) oder über Anforderungen (z. B. Aufgabenschwierigkeiten) auf der Grundlage der Informationen, die explizit oder implizit in einer diagnostischen Situation bestehen. Es bezieht sich auf Theorien der kognitiven Informationsverarbeitung und erfordert eine Spezifikation von vier Komponenten: die Personencharakteristika, die Situationscharakteristika, das diagnostische Denken als Informationsverarbeitung und schließlich das Diagnoseverhalten. Der Beitrag stellt dar, wie das DiaCoM-Rahmenmodell als forschungsheuristisches Modell eingesetzt werden kann, um Erklärungswissen zur Genese diagnostischer Urteile zu generieren: Durch Spezifikation der informationsverarbeitenden Prozesse können theoretische Voraussagen darüber getroffen werden, welche Personen- und Situationscharakteristika zu welchem diagnostischen Verhalten führen. Diese Annahmen sind dann einer experimentellen Prüfung durch systematische Variation der Situation oder der Personen (z. B. durch Instruktion) zugänglich.

ZusammenfassungBei der Auswahl von Aufgaben für einen adaptiven Unterricht schätzen Lehrkräfte deren fachliche Anforderungen ein. Im Rahmen eines Modells der Informationsverarbeitung wird angenommen, dass bei solchen diagnostischen Urteilen über Aufgaben auf Basis fachdidaktischen Wissens schwierigkeitsgenerierende Merkmale identifiziert und diese hinsichtlich ihres Einflusses auf die Aufgabenschwierigkeit gewichtet werden. Dabei erfolgt die Verarbeitung von Oberflächen- und Tiefenmerkmalen unterschiedlich schnell und ist daher abhängig von der verfügbaren Zeit. Anliegen der Studie ist es, diese Annahmen über die kognitiven Prozesse bei der Urteilsbildung zu prüfen, indem Aufgabenmerkmale systematisch variiert und fachdidaktisches Wissen als Personenmerkmal sowie Zeitdruck als Situationsmerkmal experimentell variiert werden. Zur Prüfung der Modellannahmen werden bei Lehramtsstudierenden (N = 175) zwei Bedingungen verglichen: Einer Experimentalgruppe wird spezifisches fachdidaktisches Wissen über schwierigkeitsgenerierende Aufgabenmerkmale vermittelt. Ihre aufgabendiagnostischen Urteile werden durch paarweise Schwierigkeitsvergleiche erfasst und mit einer Kontrollgruppe verglichen – jeweils mit hoher und mit geringer Zeitrestriktion. Es zeigt sich, dass fachdidaktisches Wissen dazu führt, dass schwierigkeitsgenerierende Aufgabenmerkmale signifikant besser identifiziert und gewichtet werden, Zeitdruck hingegen hat signifikant negative Auswirkungen auf die Urteilsgüte. Die beschriebene Merkmalsvariation schlägt sich demnach hypothesenkonform in der Urteilsakkuratheit nieder, wobei die Prozesse der Identifizierung und der Gewichtung von schwierigkeitsgenerierenden Aufgabenmerkmalen unterschieden werden. Diese Ergebnisse erlauben Rückschlüsse auf die Bedeutung von spezifischem fachdidaktischem Wissen für diagnostische Urteile und geben damit Impulse für die Lehrkräfteaus- und -fortbildung. Die Unterscheidung der kognitiven Prozesse beim Einschätzen von Aufgabenschwierigkeit mit und ohne Zeitdruck legt nahe, dass sich Lehrkräfte hierüber während der Unterrichtsplanung (ohne Zeitdruck) und im Unterrichtsgeschehen (mit Zeitdruck) bewusst sein sollten, um reflektiert damit umgehen zu können.

Assessing students’ learning processes and products is considered a core requirement of effective teaching. As such, it is an object of research in several disciplines and research areas. To structure the various corresponding research perspectives and provide a broader, yet still systematic view of the field, we propose an overarching framework that allows for systematizing foci of interest, goals, methodologies, and theoretical premises as four integral aspects of conducting research in this area. We demonstrate the benefits of the overarching framework by using it as a tool to analyze and systematize previous research from four different research perspectives. Based on this framework, we discuss the strengths and limitations of existing studies and, in particular, highlight theoretical premises that are rarely explicitly addressed but become more obvious by using the overarching framework. In addition, we provide directions for future research by drawing connections within and between research perspectives. Our analyses illustrate how the overarching framework can provide a foundation for research synthesis and inform future studies.

Preservice teachers face the challenge of integrating multiple types of knowledge, such as pedagogical-psychological knowledge and subject-specific pedagogical knowledge. We investigated whether prior instruction emphasizing the importance of knowledge integration (relevance instruction) supports preservice teachers in using both knowledge types simultaneously. Seventy-two preservice music teachers participated in this computer-based study. They worked on two separate lectures about learners' beliefs. One lecture contained pedagogical-psychological knowledge; the other contained music-specific pedagogical knowledge. The preservice teachers received either a relevance instruction before starting a new lecture or a control instruction. We found that the relevance instruction increased the simultaneous use of the two knowledge types in scenario-based tasks. In these tasks, the preservice teachers needed to provide interpretations and decisions for excerpts describing various classroom situations. The relevance instruction increased the time that the preservice teachers spent on the lectures slightly; but it did not increase the perceived task difficulty or mental effort. Furthermore, the effect of the relevance instruction was not moderated by prior knowledge. We conclude that relevance instructions are a promising approach to fostering knowledge integration in teacher education.

Das Arbeiten mit Funktionen gehort zu den zentralen Kompetenzbereichen des Mathematikunterrichts. Kompetenzen sind dabei als individuelle Auspragungen kognitiver und auch affektiv-motivationaler Dispositionen, wie Selbstwirksamkeitserwartungen, zu verstehen. Fur die Identifikation von Kompetenzprofilen bei linearen Funktionen fehlen bislang jedoch Verfahren, beide Dimensionen anhand derselben Aufgaben reliabel zu erfassen. Zwar legt die Forschung einen moderaten positiven Zusammenhang zwischen kognitiven und affektiv-motivationalen Kompetenzdimensionen nahe. Unklar ist aber, welche individuellen Auspragungen sich bei einer aufgabenspezifischen Erfassung im Themenbereich der linearen Funktionen zeigen. In dieser Studie wurden daher Leistungen und Selbstwirksamkeitserwartungen im Themenbereich lineare Funktionen bei 120 Schulerinnen und Schulern im 8. und 9. Schuljahr untersucht. Dazu wurde ein Erhebungsinstrument entwickelt, welches Leistungen und Selbstwirksamkeitserwartungen anhand derselben Aufgaben erfasst. Die Daten bestatigten einen moderaten Zusammenhang zwischen Leistung und Selbstwirksamkeitserwartungen. In beiden Variablen zeigten sich signifikante geschlechtsspezifische Unterschiede zugunsten der Jungen, welche die Notwendigkeit der Betrachtung affektiv-motivationaler Kompetenzdimensionen zur Aufklarung individueller Unterschiede unterstreichen. Mittels einer Clusteranalyse konnten funf Lernendengruppen mit unterschiedlichen Auspragungen in den Dimensionen Leistung und Selbstwirksamkeitserwartungen identifiziert werden. Insbesondere fanden sich Schulergruppen, die ihre Leistungen insgesamt deutlich uber- bzw. unterschatzten. Die Schulerinnen und Schuler mit unterschiedlichen Kompetenzprofilen unterschieden sich daruber hinaus in der Genauigkeit, mit der sie ihre Leistung fur einzelne Aufgaben einschatzten. Die Ergebnisse dieser Studie erganzen bisherige Forschungen zum allgemeinen Zusammenhang zwischen Leistung und Selbstwirksamkeitserwartungen um eine situationsspezifische Perspektive. Die Ergebnisse sind zudem fur die Unterrichtspraxis relevant, da Schulerinnen und Schuler mit unterschiedlichen Kompetenzprofilen aus Leistung und Selbstwirksamkeitserwartungen von unterschiedlichen Forderschwerpunkten profitieren sollten.

Research on conceptual change, learning from errors, and ‘productive failure’ suggests that elaborating on errors during instruction is crucial for learning in settings which put problem solving before instruction. To reveal the role of elaboration and comparison of errors, we investigated the effect of prompting students to engage in such cognitive processes: Students in all conditions first worked on an identical problem-solving activity (targeting the comparison of fractions) without prior instruction about the targeted concepts and procedures. In the subsequent instruction phase, students in the different conditions received 1) only correct solutions, 2) correct and erroneous examples, or 3) additional comparison prompts. Students who were prompted to compare erroneous solution attempts to correct solutions significantly outperformed their peers at posttest. Elaborating on errors seemed to mediate this effect. In accordance with the theoretical assumptions, the difference between conditions was only significant for students whose initial solution resembled the erroneous examples.

Given the challenges of scaling up content-related professional development (PD), the PD facilitators have gained increasing attention in PD research. In this mainly programmatic and structural article, we try to systematize existing research strategies which take into account the multifaceted and multi-level structure of PD research. We discuss the lifting strategy which draws upon structural analogies between the classroom and the PD level, the nesting strategy for research-based design, and the unpacking strategy for design-based PD research and locate these strategies within a Three-Tetrahedron Model for PD research. Thereby, we present a framework to systematize and explain existing research approaches and to identify necessary but missing research contributions. The article provides a language for initiating a discourse on research agendas which can support PD facilitators: The Three-Tetrahedron Model for PD research and design captures the complexity of learning and teaching at the classroom, teacher, and facilitator level that is needed to inform design and research into PD as well as to uncover gaps in the literature.

We provide evidence of validity for a newly developed diagnostic competence model of operation sense, by both (a) describing the theoretically substantiated development of the competence model in close association with its use within a large-scale formative assessment and (b) providing empirical evidence for the theoretically described cognitive levels of competences. The competence model describes students’ operation sense on four distinct levels. On each level, the model elaborates on the characteristics of tasks that students on this level are able to answer correctly. Moreover, the model explains this by referring to two kinds of cognitive processes that are supposed to be necessary to respond to these kinds of tasks successfully. In a validation study, about 85% of the variance in the item difficulties was explained by the four, a priori allocated, levels of operation sense. We discuss the relevance of the validation of the diagnostic competence model for the provision of criterion-referenced feedback in a large-scale formative assessment, including suggestions for teachers’ subsequent support activities, and the contributions of the model to the state of research about operation sense.

Engaging students in processes of mathematizing and active knowledge organization (instead of telling and rehearsing ready-made mathematics) is a key demand for high quality mathematics instruction. Although many mathematically rich context problems have been designed and published in textbooks, their impact on regular mathematics classrooms remains limited, as teachers face challenges in shaping and enacting the important phase of knowledge organization. The 15-year project KOSIMA presented in this paper was aimed at supporting teachers in really enhancing these processes by means of a textbook for Grades 5–10. The paper provides an overview of different studies conducted during the project in order to show how the project developed a research base for the support of teachers. The paper also shows that different research approaches need to be combined to establish an appropriate research base: In iterative design research cycles of topic-specific didactical design research, learning environments were designed and investigated with the aim of understanding the obstacles encountered in implementing the desired processes. In this paper, we focus on an example of one particular obstacle, namely, teachers’ need of support in engaging students in processes of active knowledge organization. This obstacle was overcome by developing new types of tasks for active knowledge organization. The theoretical outcome of the design research resulted in two hypotheses for improving relevant features of the design of these tasks, which were tested in two controlled trials. Finally, a longitudinal field study of 312 students gave first indications that the classes that worked with the textbook had significantly higher learning gains than classes using other textbooks. In sum, we can show that textbooks can support changes in classroom practices when the obstacles that occur for both teachers and students are carefully investigated and treated., ZDM Mathematics Education

Self-efficacy is an important predictor of learning and achievement. By definition, self-efficacy requires a task-specific assessment, in which students are asked to evaluate whether they can solve concrete tasks. An underlying assumption in previous research into such assessments was that self-efficacy is a one-dimensional construct. However, empirical evidence for this assumption is lacking, and research on students’ performance suggests that it depends on various task characteristics (e.g., the representational format). The present study explores the potential multi-dimensionality of self-efficacy in the topic of linear functions. More specifically, we investigate how three task characteristics – (1) the representational format, (2) embedding in a real-life context, or (3) the required operation – are related to students’ self-efficacy. We asked 8th and 9th graders (N = 376) to evaluate their self-efficacy on specific linear function tasks which systematically varied along the three dimensions of task characteristics. Using confirmatory factor analysis, we found that a two-dimensional model which includes the task characteristic of real-life context (i.e., with vs. without a real-life context) fitted the data better than other two-dimensional models or a one-dimensional model. These results suggest that self-efficacy with linear functions is empirically separable with respect to tasks with vs. without a real-life context. This means that in their self-evaluation of linear function tasks students particularly rely on whether or not the linear function task is embedded in a real-life context. This study highlights the fact that even within a specific content domain students’ self-efficacy can be considered a multi-dimensional construct.

A diagnostic judgment of a teacher can be seen as an inference from manifest observable evidence on a student’s behavior to his or her latent traits. This can be described by a Bayesian model of inference: The teacher starts from a set of assumptions on the student (hypotheses), with subjective probabilities for each hypothesis (priors). Subsequently, he or she uses observed evidence (students’ responses to tasks) and knowledge on conditional probabilities of this evidence (likelihoods) to revise these assumptions. Many systematic deviations from this model (biases, e.g., base-rate neglect, inverse fallacy) are reported in the literature on Bayesian reasoning. In a teacher’s situation, the information (hypotheses, priors, likelihoods) is usually not explicitly represented numerically (as in most research on Bayesian reasoning) but only by qualitative estimations in the mind of the teacher. In our study, we ask to which extent individuals (approximately) apply a rational Bayesian strategy or resort to other biased strategies of processing information for their diagnostic judgments. We explicitly pose this question with respect to nonnumerical settings. To investigate this question, we developed a scenario that visually displays all relevant information (hypotheses, priors, likelihoods) in a graphically displayed hypothesis space (called “hypothegon”)–without recurring to numerical representations or mathematical procedures. Forty-two preservice teachers were asked to judge the plausibility of different misconceptions of six students based on their responses to decimal comparison tasks (e.g., 3.39 > 3.4). Applying a Bayesian classification procedure, we identified three updating strategies: a Bayesian update strategy (BUS, processing all probabilities), a combined evidence strategy (CES, ignoring the prior probabilities but including all likelihoods), and a single evidence strategy (SES, only using the likelihood of the most probable hypothesis). In study 1, an instruction on the relevance of using all probabilities (priors and likelihoods) only weakly increased the processing of more information. In study 2, we found strong evidence that a visual explication of the prior–likelihood interaction led to an increase in processing the interaction of all relevant information. These results show that the phenomena found in general research on Bayesian reasoning in numerical settings extend to diagnostic judgments in nonnumerical settings.

Students’ beliefs that mathematical abilities are fixed can cause long-standing problems with motivation and learning. Hence, teachers should notice such problematic beliefs about identity among their students and handle them adequately. We used written descriptions of classroom situations to determine whether preservice mathematics teachers (n = 80) noticed fixed beliefs about mathematical abilities and whether they had strategies for dealing with them. The qualitative data were coded and transformed into a score for noticing. We found that most of the preservice teachers did not notice problematic beliefs. Thereby, preservice teachers who believed that mathematical abilities are malleable were more likely to notice fixed beliefs among students. When describing beliefs, few participants referred to theoretical concepts. Hardly any preservice teachers suggested strategies for handling students’ beliefs. However, the strategies that were suggested mostly corresponded with findings from educational research. Our study provides first evidence that preservice teachers’ abilities to notice and handle belief-related problems may be insufficient. We discuss implications for teacher education as well as directions for future research.

Children's proficiency in multi-digit division is based on the application of a variety of different solution strategies with different conceptual foundations. Accordingly, we assume that children can have qualitatively distinct profiles of correctly used strategies and errors, as well as different kinds of learning trajectories towards proficiency. Moreover, children's abilities in reasoning about number relations are regarded as an enabling condition for the application of solution strategies. As such, these abilities should influence both the prevalence of profiles of strategy proficiency, and the transitions between these profiles. In the current study, 208 fourth graders first discovered, then compared and practiced division strategies. We administered a test with six division problems (before and after the intervention) and a measurement of abilities in reasoning about number relations (before the intervention). Correctly used strategies and errors were coded. A latent transition analysis with children's abilities in reasoning about number relations as covariate identified three latent classes (levels) of strategy proficiency. It confirmed that both the initial class prevalences and the latent transition probabilities were influenced by the covariate. The analysis illustrated different learning trajectories, which can be explained by the specific conceptual foundations of different solution strategies in multi-digit division.

Discovery learning has a long tradition in educational psychology and in mathematics education. While these two research strands are often only weakly connected, we demonstrate that it is fruitful to draw on the theories and findings from both perspectives. We base the design of our study on the instructional model “productive failure”, which is investigated in educational psychology, and for which one can find analogous models in mathematics education. Productive failure combines a phase of divergent discovery (exploration phase) with a phase of convergent organization encompassing structured instructional elements (instruction phase). Our research questions target both phases: Regarding the exploration phase, we investigated students’ strategies when they attempt to solve fraction problems prior to instruction. Regarding the instruction phase, we tested whether a guided elaboration on typical errors had an impact on students’ understanding. The study included two learning units. In both units, students of all experimental conditions first engaged in an identical exploration activity and then worked on elaboration tasks that introduced: a) only correct solutions; b) correct and erroneous solution attempts; or c) correct and erroneous solution attempts with prompts to compare these solutions. Our qualitative categorization of students’ solutions showed that the identified errors match the solution attempts used for the instruction phase. Posttest results indicate that including erroneous solution attempts in the instruction phase can be beneficial for learning units in which most students fail to come up with a correct solution themselves, but only if students are prompted to compare the erroneous solution attempts with correct solutions.

Bei der Implementierung von Lehrerfortbildungen, die neue curriculare Aspekte fur den Unterricht einfuhren, sind die Effekte der Fortbildungen auf die Leistung der Schulerinnen und Schuler von entscheidendem Interesse. In diesem Artikel wird untersucht, inwiefern eine mehrmodulige Lehrerfortbildungsreihe in Luxemburg zur prozessbezogenen Kompetenz „Problemlosen“ zu einer Steigerung der Problemlosekompetenzen der Schulerinnen und Schuler fuhren kann. Die teilnehmenden Lehrerinnen und Lehrer erhielten im Rahmen einer Fortbildung Begleitmaterialien mit dem Ziel, die unterrichtliche Umsetzung zusatzlich zu unterstutzen. In einem Pra-Post-Design wurden die Leistungen der Schulerinnen und Schuler der an der Fortbildung teilnehmenden Lehrpersonen mit einem selbst entwickelten Problemlose-Test erhoben und mit einer Wartekontrollgruppe verglichen. Die Ergebnisse legen die Vermutung nahe, dass sich in Klassen, in denen die Lehrpersonen die Fortbildungsinhalte haufiger im Unterricht umgesetzt haben, eine merkliche Steigerung der Problemlosekompetenzen zeigt. Es wird diskutiert, welche Erkenntnisse sich aus diesen Ergebnissen fur die Gestaltung von Fortbildungsmasnahmen ableiten lassen.

To teach adaptively, teachers should be able to take the students’ level of knowledge into account. Therefore, a key component of pedagogical content knowledge (PCK) is the ability to assume the students’ perspectives. However, due to the so-called expert blind spot, teachers tend to misestimate their students’ knowledge, such as when estimating the difficulty of a given task. This empirically well-documented estimation bias is predicted by Nickerson’s anchoring and adjustment model, which generally explains how people take on other people’s perspectives. In this article, we present an intervention study that aims to improve the accuracy of prospective teachers’ judgments of task difficulty in the area of functional thinking. Two types of treatments are derived from Nickerson’s model. In the first condition (PCK group), participants acquire knowledge about task characteristics and students’ misconceptions. The second condition (sensitizing group) serves to control the idea that potential improvements in the PCK group are not merely based on a pure sensitization of the expert’s estimation bias. Accordingly, these participants are only informed about the general tendency of overestimating task difficulties. The results showed that the PCK group improved both in terms of the accuracy of the estimated solution rates and the accuracy of rank order, whereas the sensitizing group only improved in regard to the former. Thus, the study shows that prospective teachers’ diagnostic judgments can be improved by teaching them relevant PCK in a short amount of time.

In this article we introduce the notion of mindset as a situationally contingent perspective on teaching mathematics. Mindsets create a readiness to act intellectually in a particular manner. We propose that mindsets can explain teachers' inclination to adopt a procedure-oriented approach to teaching mathematics that is prevailing in many classrooms. To investigate the mindset hypothesis, we conducted 3 experiments. In Study 1 (N = 97), preservice mathematics teachers read 1 of 3 comics depicting common classroom scenarios. Results showed that the comics were comprehended as intended. In Study 2 (N = 62), preservice mathematics teachers were incidentally presented 1 of the comics as a prime. Subsequently, they drafted an explanation about an extremum problem. Preservice teachers primed with a math-club comic generated more principle-oriented and less procedure-oriented explanations, whereas preservice teachers primed with a math-test-prep or school-trip-planning comic generated more procedure-oriented and less principle-oriented explanations. Study 3 (N = 54) successfully replicated the main findings of Study 2 with experienced inservice teachers who were assumed to have developed automated routines in giving explanations. We conclude that the information the comics contained about the social practices surrounding mathematics triggered teachers' readiness to either include or omit principled or procedural information when drafting explanations. (PsycINFO Database Record (c) 2019 APA, all rights reserved).

Personal epistemological beliefs are considered to play an important role for processes of learning and teaching. However, research on personal epistemology is confronted with theoretical issues as there is conflicting evidence regarding the structure, stability, and context-dependence of epistemological beliefs. We give evidence how theoretical and methodological issues can partly be resolved by distinguishing between relatively stable “epistemological beliefs” and situation-specific “epistemological judgments.” A qualitative content analysis of a series of semistructured interviews (study 1) with pre-service teachers, teachers, and teacher educators as well as a statistical analysis of pre-service teachers’ extensive answers in questionnaires (study 2), both on the topic of “mathematical discovery,” reveal not only beliefs of the participants but also different qualities of judgments. Therefore, in further research both aspects of beliefs should be considered in a more differentiated manner when...

Since Felix Kleins’ influential statement on “Elementary Mathematics from an Higher Standpoint” many scholars have discussed the role of mathematical knowledge in teacher education and generated diverse arguments for selecting and delivering university subject matter courses. This article contributes to the discussion by considering the special case of Galois Theory. It conducts a subject matter analysis of Galois Theory by drawing on several frameworks from general didactics, subject matter didactics and teacher competence, and by presenting a concrete university course that emphasizes the idea of symmetry and connections to school mathematics (also available as a Klein-Vignette, Leuders 2016b). Thereby it proposes an example for a “Subject Matter Analysis with a Perspective on Education and Teachers”.

The monitoring by teachers of collaborative, cognitive, and meta-cognitive student activities in collaborative learning is crucial for fostering beneficial student interaction. In a quasi-experimental study, we trained pre-service teachers ( N = 74) to notice behavioral indicators for these three dimensions of student activities. Video clips of student interactions in collaborative learning settings served as learning opportunities in the training and as test scenarios for measuring monitoring competency in an assessment tool. Participants completed the assessment tool before and immediately after the training program. A control group ( N = 33) completed the assessment tool twice but did not receive training in between. Results show that monitoring competency increased significantly in the training group but not in the control group. This provides initial evidence that a video-based training program can effectively enhance pre-service teachers’ noticing of behavioral indicators of collaborative, cognitive, and meta-cognitive student activities in a relatively short time. Our findings are of practical relevance as evaluating student interactions in a collaborative learning setting is challenging, yet also a skill much needed in teacher practice.

Research on diagnostic competencies of teachers nowadays raises the question which person or situational characteristics moderate judgement accuracy. Beside this correlational approach, a stronger interest in understanding the cognitive processes involved in the genesis of diagnostic judgements has emerged. To address the theoretical gap regarding cognitive processes underlying diagnostic judgements, we propose a framework, called DiaCoM (Explaining Teachers’ Diagnostic Judgements by Cognitive Modeling). It aims at supporting (existing or envisioned) research that strives to test cognitively oriented explanations for processes and products of diagnostic judgements of teachers.

Apps als thematisch fokussierte und flexibel nutzbare Programme konnen als „Lern-Apps“ mit unterschiedlichen Funktionen in den Mathematikunterricht eingebunden werden. Im Entwicklungsforschungsprojekt KOSIMA wurden solche Lern-Apps vor allem in Form von interaktiven Simulationen in Erkundungsphasen entwickelt und erprobt. Dabei zeigt sich, wie solche Lern-Apps nicht nur hinsichtlich technischer, methodischer und allgemeindidaktischer Aspekte, sondern auch hinsichtlich fachdidaktischer Aspekte durchdacht werden mussen, damit sie zur Qualitat der Prozesse und Ergebnisse der Lernumgebungen beitragen konnen. Fur das KOSIMA-Unterrichtskonzept geht es dabei vor allem um die kognitive Aktivierung und Verstehensunterstutzung beim Erkunden auf eigenen Wegen innerhalb genetischer, sinnstiftender Lernumgebungen. In diesem Beitrag werden drei konkrete Beispiele analysiert: Potenzdarstellungen in der wissenschaftliche Schreibweise, Modellierung mehrstufiger Zufallsversuche und der Satz des Pythagoras.

In German speaking countries, educational thinking and theorizing on mathematics teaching and learning originated with the establishment of compulsory education for all children and the creation of a school system. Though first efforts go back to the 18th century it does make sense to start this survey with the beginning of the 19th century, with the implication that educational research on mathematics has a history of about two hundred years in German speaking countries. During the 19th century a more and more sophisticated system of publication (journals and books) on mathematics education emerged, the education of mathematics teachers had become more professional and teacher training had developed into one of the main obligations of university teaching. However, didactics of mathematics as an academic discipline is a comparably new achievement. Its establishment began approximately fifty years ago, predominately by creating professorships and opportunities of graduation at universities. After a phase of broad discussion on the identity of the discipline (e.g., in a special issue of ZDM edited by Steiner, 1974), the community of didactics of mathematics steadily expanded, diversified and developed fruitful connections to other neighboring disciplines. This overview intends to outline this development with respect to intuitions, key ideas, research strategies and the connection between research and practice. Selected topics are presented in the following chapters in more detail.

Bei der Arbeit in Gruppen konnen Lehrkrafte sowohl fachliche Lernprozesse als auch Arbeits- und Kommunikationsprozesse, die Ruckschlusse uber das Lernen der Schulerinnen und Schuler erlauben, beobachten. Dieses Kapitel beschreibt ein computergestutztes Messinstrument fur die professionelle Wahrnehmung von Schulerinteraktionen. Vor dem Hintergrund erster empirischer Erhebungen werden Herausforderungen und Erfolgsfaktoren der Entwicklung diskutiert.

Die Professionalitat des padagogischen Personals in Schulen und Kindertageseinrichtungen ist eine zentrale Determinante fur die Qualitat von Bildungsprozessen und Bildungsergebnissen. Professionelles padagogisches Handeln ist bestimmt von einem komplexen Zusammenspiel unterschiedlicher Kompetenzfacetten: Neben allgemeinen padagogischen sowie fachwissenschaftlichen Kompetenzen treten spezifische Kompetenzfacetten zur Gestaltung fachlicher Lernprozesse in den Vordergrund. Diese wurden erstmals von Shulman (1986, 1987) als pedagogical content knowledge (fachbezogenes padagogisches Wissen) beschrieben und seitdem vielfach weiter ausdifferenziert und untersucht. In Hinblick auf das Professionswissen wurde ferner die Bedeutung eines reflektierten Verstandnisses des zu lehrenden Fachs als Wissenschaft (nature of science) hervorgehoben. Die Vermittlung eines Verstandnisses der Genese, Veranderbarkeit und Begrundung fachwissenschaftlichen Wissens und dessen Bedeutung fur die verschiedenen gesellschaftlichen Lebensbereiche wird zunehmend als ein wichtiges Ziel schulischer Bildung erachtet. Die Entwicklung empirischer Zugangsweisen fur die genannten Kompetenzfacetten ist zurzeit noch ein Forschungsdesiderat, was unter anderem den konzeptuellen Unscharfen der beiden Konstrukte „pedagogical content knowledge“ sowie „nature of science“ geschuldet ist.

Als diagnostische Kompetenzen werden Fahigkeiten von Lehrpersonen verstanden, welche sie in die Lage versetzen, korrekte Urteile uber Lernvoraussetzungen, Lernprozesse und Lernergebnisse von Lernenden zu treffen. Ziel ist es, Informationen zu gewinnen, die fur verschiedene padagogische Entscheidungen (Notengebung, Versetzung, Ubergangsempfehlungen, Unterrichtsplanung und Unterrichtsgestaltung, Schulund Unterrichtsentwicklung) genutzt werden konnen.

Bisherige Erfassungsinstrumente fur diagnostische Kompetenzen und Professionswissen von Lehrkraften eignen sich nur bedingt fur die Evaluation von Fortbildungen, da sie nicht themenspezifisch genug angelegt sind. Es wurde daher ein Instrument entwickelt, welches diagnostische Kompetenz von Lehrkraften fur den Themenbereich Funktionen erfassen kann. Im Rahmen einer Interventionsstudie (N = 26) wurde dazu ein Erhebungsinstrument mit offenen Frageformaten und ein dazugehoriges Auswertungsverfahren entwickelt, welches eine qualitative Untersuchung von Lehrerurteilen zu Schulerlernstanden ermoglichte. Die Kompetenzfacette Beurteilung von Schulerlernstanden wird anhand von vier Diagnoseurteilen zu drei unterschiedlichen Schuleraufgabenbearbeitungen pro Lehrkraft erfasst. Durch einen Kodierungszyklus und ein anschliesendes Rating mit zwei unabhangigen Ratern konnte jeweils ein Diagnoseprofil pro Lehrkraft rekonstruiert werden. Die Ergebnisse einer Clusteranalyse weisen auf vier Diagnosetypen hin, die sich in Bezug auf die Merkmalsbereiche Konkretheit, diagnostische Aktivitaten, Fokus der Diagnose, Qualitatsmerkmale und Korrektheit bzw. Verstandlichkeit unterscheiden. Das hier vorgestellte kategoriale Modell fur diagnostische Kompetenzen im fokussierten Bereich kann zur Nachzeichnung von Kompetenzentwicklungsverlaufen durch Fortbildungen und als Basis fur weitere Instrumententwicklungen genutzt werden.

The ability to purposefully access, reflect, and use evidence from educational research (Educational Research Literacy) is expected of future professionals in educational practice. Based on the presented conceptual framework, a test instrument was developed to assess the different competency aspects: Information Literacy, Statistical Literacy, and Evidence-based Reasoning. This paper addresses the question of whether this test allows monitoring students’ development during courses on research methods in educational science. In winter semester 2013/14, two courses in Early Education and Teacher Training degree programs were accompanied. Both cross-sectional (multidimensional latent regression models) and longitudinal (paired t tests of plausible values) comparisons are reported. The results indicate no significant differences in competencies between the degree programs at start of the semester. For the end of semester, only data of the Early Education course was available. These course participants showed ...

Adaptives Unterrichten setzt bei Lehrkraften die Fahigkeit zur Einschatzung von Lernvoraussetzungen der Lernenden und Anforderungen der eingesetzten Aufgaben als eine wesentliche Facette fachdidaktischer Kompetenz (pck) voraus. Studien belegen jedoch erhebliche Fehleinschatzungen bei der Beurteilung von Aufgabenschwierigkeiten. Es wird untersucht, ob dieses Defizit in den diagnostischen Kompetenzen von Lehrkraften im Einklang mit den Vorhersagen der Urteils- und Expertiseforschung und insbesondere mit dem Expert-Blind-Spot-Phanomen steht, und von welchen Faktoren die Fahigkeit der adaquaten Schwierigkeitseinschatzung bei Lehrkraften abhangt. In einer ersten Teilstudie wurden Aufgaben zu Funktionen in graphischer und tabellarisch-numerischer Darstellung eingesetzt. Im Vergleich der empirischen Losungshaufigkeiten mit den Einschatzungen von Studierenden, Referendarinnen und Referendaren und Lehrkraften zeigte sich, dass zwischen den Gruppen die Verschatzungen mit zunehmender Praxiserfahrung abnahmen. Zudem wurde die Schwierigkeit von Aufgaben mit Funktionsgraphen in allen Gruppen starker unterschatzt als analoge Aufgaben mit Funktionen in tabellarischer Darstellung. In einer zweiten Teilstudie wurde gezeigt, dass diese Fehlurteile erheblich mit der Eigenperspektive der Schatzenden zusammenhangen, so dass sich die These einer starkeren „Komprimierung“ des Expertenwissens bei graphischen Aufgaben erhartet. In diesem Zusammenhang wurde in einer dritten Teilstudie untersucht, in welchem Verhaltnis fachliches „Dekomprimieren“ und „Sensibilisieren“ bei der Perspektivenubernahme und damit bei der Erhohung der Urteilsgenauigkeit wirkt.

Ein ungewohnliches Erlebnis eines Hundebesitzers fuhrt auf die Frage: Wenn ein Hund einen ins Wasser geworfenen Gegenstand apportiert, findet er tatsachlich immer den optimalen Weg – eine ideale Kombination aus „an der Wasserlinie entlang laufen“ und „schwimmen“? Der Beitrag analysiert das Problem mathematisch, schlagt verschiedene Herangehensweisen im Unterricht vor und stellt Fragen nach einer Erklarung der erstaunlichen Fahigkeit des Tieres.

Das KOSIMA‐Netzwerk (Kontexte fur sinnstiftendes Mathematiklernen) setzt sich zum Ziel, Multiplikatorinnen und Multiplikatoren sowie Lehrpersonen auf der Basis eines theoretisch fundierten, praktisch erprobten und empirisch beforschten Unterrichtskonzepts zu professionalisieren. Der Artikel zeigt auf, welche Chancen und Herausforderungen sich durch den konsequent verknupften Verbund von Unterrichtsentwicklung und Professionalisierung ergeben.