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Neste trabalho é apresentada a formulação explícita para elementos triangulares e tetraédricos de ordem superior aplicados à solução de problemas envolvendo elasticidade 2D e 3D com o Método dos Elementos Finitos. A precisão dos resultados de análises utilizando o MEF está diretamente ligada a malha e exatidão do elementos. As técnicas de refino mais usuais são as versões adaptativas h, p, hp e r, em que a versão h mantém constante a ordem das funções de forma e eleva o número de elementos de forma a minimizar o erro. Por sua vez, a versão p mantém constante o número de elementos e eleva a ordem do polinômio das funções de interpolação para uma melhor aproximação da solução. A versão hp é uma combinação das duas versões anteriores e a versão r é obtida por meio da modificação da posição dos nós mantendo a topologia da malha. Os elementos triangular e tetraédrico foram adotados para o presente estudo, pois possuem a vantagem de adequar-se às mais diversas formas geométricas. Para formulação dos elementos de ordem superior, a ordem dos polinômios de Lagrange é incrementada para construção dos elementos triangulares T6(6 nós), T10(10 nós), T15(15nós) e T21(21 nós) e elementos tetraédricos TE10(10 nós), TE20(20 nós) e TE35(35 nós). A grande vantagem dos elementos de ordem superior é a maior precisão dos resultados a medida que a ordem do polinômio aumenta. Portanto, são necessários menos elementos que a versão h-Adaptativa para solução do problema, reduzindo, assim, a necessidade de discretização adicional do domínio. As aplicações utilizando elementos finitos de ordem superior apresentam elevado custo computacional, visto que as matrizes dos elementos são obtidas por meio de um grande número de pontos de integração elevando assim o tempo de processamento. De modo a solucionar esse problema foram desenvolvidas matrizes de rigidez explícitas, eliminando as integrações numéricas e maximizando a eficiência do processamento computacional. Aplicações práticas em um código computacional para análise estática e modal de estruturas foram desenvolvidas com auxílio do software MATLAB, onde o usuário informa uma malha inicial com elementos triangulares de três nós (T3) ou tetraédricos de quatro nós (TE4) e define a ordem do elemento a ser aplicado. Por sua vez, o programa se encarrega de gerar os novos nós e conectividades de acordo com o grau do polinômio escolhido. Em seguida, o usuário define as propriedades físicas, condições de contorno e cargas aplicadas, para posterior cálculo dos deslocamentos, tensões, frequências e modos de vibração. Exemplos de validação são apresentados e confirmam a eficiência em desempenho computacional das rotinas propostas. Nos resultados foi verificado que, para boa parte dos elementos, a estratégia utilizando matrizes explícitas mostrou-se mais eficiente que a integração numérica, com uma considerável redução no tempo de processamento. This work presents the development of explicit finite element matrices for higher order triangular and tetrahedral elements applied to solution of 2D and 3D elasticity problems. The accuracy of analysis results using the Finite Element Method (FEM) depends on mesh refinement and element quality. The most usual refinement techniques are the adaptive versions h, p, hp and r, in which the h version keeps the order of interpolation functions constant and raises the number of elements to minimize the error. Alternatively, the p version maintains the number of elements constant and raises the order of the polynomial in the interpolation functions for a better approximation of the solution. The hp version is a combination of the two previous approaches and the r version is obtained by modifying node position while maintaining the mesh topology. Triangular and tetrahedral elements were adopted for the present study, since they have the advantage of adapting to the most diverse geometric forms. Lagrange polynomial order is incremented to construct triangular elements T6 (6 nodes), T10 (10 nodes), T15 (15 nodes) and T21 (21 nodes), and tetrahedral elements TE10 (10 nodes), TE20 (20 nodes) and TE35 (35 nodes). Higher order elements provide greater accuracy as the order of the polynomial increases. Therefore, fewer elements are required to solve the problem when compared to the h version, thus reducing the need for additional mesh refinement. Applications using higher order finite elements often require great computational cost, since element matrices are obtained with a large set of numerical integration points, thus increasing the processing time. To solve this problem explicit stiffness matrices have been developed, avoiding numerical integrations and maximizing computational efficiency. Practical applications in a computational code for static and modal analysis of structures were developed using MATLAB software, with the user defining an initial mesh with triangular elements of three nodes (T3) or tetrahedral element of four nodes (TE4), and further establishing the polynomial order to be applied. The computer code is responsible for generating additional nodes and connectivities according to the chosen degree of the interpolation function. Next, the user defines the physical properties, boundary conditions and applied loads, for later calculation of the displacements, stresses, frequencies and vibration modes. Test cases are presented for validation of the proposed routines. Major conclusions reveal that for a broad set of elements the strategy using explicit finite element matrices was more efficient than the classical numerical integration procedure, with a considerable reduction in processing time.

Não recebi financiamento In this work we explain an elegant and accessible proof of the Fundamental Theorem of Algebra using the Lagrange Multipliers method. We believe this will be a valuable resource not only to Mathematics students, but also to students in related areas, as the Lagrange Multipliers method that lies at the heart of the proof is widely taught. Neste trabalho expomos uma demonstração acessível e elegante do Teorema Fundamental da Álgebra utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Acreditamos que este trabalho seria uma fonte valiosa não são para estudantes de Matemática, mas também para estudantes de áreas relacionadas, uma vez que o método dos multiplicadores de Lagrange é amplamente ensinado em cursos de exatas.

Três aplicações de campos escalares a cosmologias homogêneas e isotrópicas são apresenta- das, com motivações e resultados diversos. No primeiro caso, uma técnica de multiplicadores de Lagrange é usada para estabelecer vínculos físicos sobre os invariantes de curvatura possivelmente presentes na ação efetiva de baixas energias da teoria de cordas. Um modelo não-singular é obtido em um caso partícula, sugerindo uma possível correção na ação da gravitação compatível com as simetrias das cosmologias de cordas. Numa outra abordagem, é proposto um modelo fenomenológico não-singular baseado no decaimento do termo cosmológico. O modelo tem como principal característica uma passa- gem suave entre uma fase inflacionária do tipo de Sitter e uma fase com dinâmica do tipo Friedmann-Robertson-Walker. Como último exemplo é considerado um campo escalar acoplado termicamente ao fluido cósmico. Adotando um termo dissipativo específico, mas usual, é definido um espaço de parâmetros contendo as cosmologias com campos escalares mais comuns e o modelo padrão como casos particulares. As condições de rolamento lento são obtidas e é apresentado um modelo cosmológico simples para exemplificar o potencial heurístico dos parâmetros propostos. Three applications of scalar fields to homogeneous and isotropic cosmologies are presented, with distinct motivations and resuIts. In the first case, a Lagrange multiplier technique is used in order to set physical constraints on the curvature invariants possibly present in the low energy effective action of string theory. In a particular case, a nonsingular model is obtained, suggesting a possible correction in the gra- vity action which is compatible to the symmetries of string cosmology. In another approach, a nonsingular model based on the decay of the cosmological term is pro- posed. The model has as a major feature a smooth transition between an inflationary de Sitter phase and a phase with FRW-type dynamics. As a last example, a scalar field thermally coupled to the cosmic fluid is considered. By adop- ting a specific but usual dissipative term, it is defined a parameter space encompassing the most common scalar field cosmologies, as well as the standard model, as limiting cases. Slow roll conditions are obtained and it is presented a simple toy model to illustrate the heuristic potential of the proposed parameters.

Orientador: Lúcio Tunes dos Santos Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: ste trabalho surge a partir de uma proposta de desenvolvimento do ajuste de curvas com uma abordagem que busca enriquecer o estudo de funções presente no currículo do ensino fundamental e médio. É apresentada ao aluno, desde o aspecto histórico do ajuste, passando pela interpolação de curvas, com foco na interpolação polinomial e o método dos quadrados mínimos, no qual são apresentados, a regressão linear, além de modelos como o ajuste exponencial. É também descrita nesta dissertação uma ferramenta de grande importância no cálculo numérico, o conceito de erro de ajuste, sua definição e forma de estimativa. Na interpolação polinomial, o aluno, ao desenvolver a forma de Lagrange, é estimulado a trabalhar as operações, forma fatorada e interpretação das vantagens do método, como o número e grau de dificuldade de operações realizadas por esse. Interpolação inversa e interpolação de curvas complementam o referido capítulo, em que busca, sempre que possível, utilizar situações problema . O método dos quadrados mínimos estimula o estudante a escolha da função de ajuste e determinação dessa a partir do conceito de minimização do erro. Polinômios de grau um,a regressão linear, e dois são trabalhados devido a sua importância no currículo do ensino médio. Explorando também conceitos como logaritmos e exponenciais, propõe-se o ajuste linear de modelos exponenciais, utilizando situações problema de uma área em evidência no momento, a Biomatemática, modelar dinâmicas de crescimento populacional. Dessa forma o aluno tem contato com formas de previsão que são úteis em importantes áreas como: a saúde pública, a modelagem de epidemias e desenvolvimento de patógenos; planejamento de políticas públicas com a modelagem do crescimento e distribuição da população; comportamento da economia como no caso de previsões de juros futuros. Para que este trabalho possa servir de auxílio aos professores de forma prática e interessante, o capítulo final traz sugestão de problemas na forma de planilha, facilitando sua reprodução e aplicação em sala de aula Abstract: This study comes from a development proposal curves adjustment with an approach that seeks to enrich the study of present functions in the primary and secondary curriculum. It is presented to the student, from the historical aspect setting, through interpolation curves, focusing on polynomial interpolation and the method of least squares, which presents the linear regression, and models like the exponential fit. It is also described in this work a very important tool in numerical calculation, the concept of setting error, its definition and method of estimation. In polynomial interpolation, the student, to develop the form of Lagrange, is encouraged to work operations, factored form and interpretation of the advantages of the method, as the number and degree of difficulty of tasks for this. Inverse interpolation and interpolation curves complement the chapter on seeking, whenever possible, use problem situations. The method of least squares stimulates the student the choice of setting function and determine this from the concept of minimizing the error. Polynomials of degree one, linear regression, and two are worked because of its importance in the high school curriculum. Also exploring concepts such as logarithms and exponential, it is proposed that the linear fit of exponential models using problem situations evidence in area at the time, the Biomathematics, modeling dynamics of population growth. Thus the student has contact with forms of provision that are useful in important areas such as public health, the modeling of epidemics and development of pathogens; public policy planning with modeling of growth and distribution of population; behavior of the economy as in the case of future interest rate forecasts. For this work may be an aid to teachers in a practical and interesting, the final chapter brings problems suggestion in the form of sheet, facilitating its reproduction and use in the classroom Mestrado Matemática em Rede Nacional - PROFMAT Mestre em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT CAPES

O conceito de controle híbrido é aplicado à operação de alívio entre um FPWSO e um navio aliviador. Ambos os navios mantêm suas posições e aproamentos pelo resultado da ação do seu Sistema de Posicionamento Dinâmico (SPD). O alívio dura cerca de 24 horas para ser concluído. Durante este período, o estado de mar pode se alterar e os calados estão sendo constantemente alterados. Um controlador híbrido é projetado para permitir modificacões dos parâmetros de controle/observação se alguma alteração significante do estado de mar e/ou calado das embarcações ocorrer. O principal objetivo dos controladores é manter o posicionamento relativo entre os navios com o intuito de evitar perigosa proximidade ou excesso de tensão no cabo. Com isto em mente, uma nova estratégia de controle que atue integradamente em ambos os navios é proposta baseda em geometria diferencial. Observadores não lineares baseados em passividade são aplicados para estimar a posição, a velocidade e as forças externas de mares calmos até extremos. O critério para troca do controle/observação é baseado na variação do calado e no estado de mar. O calado é assumido conhecido e o estado de mar é estimado pela frequência de pico do espectro do movimento de primeira ordem dos navios. Um modelo de perturbação é proposto para encontrar o número de controladores do sistema híbrido. A equivalência entre o controle geométrico e o controlador baseado em Multiplicadores de Lagrange é demonstrada. Assumindo algumas hipóteses, a equivalência entre os controladores geométrico e o PD é também apresentada. O desempenho da nova estratégia é avaliada por meio de simulações numéricas e comparada a um controlador PD. Os resultados apresentam muito bom desempenho em função do objetivo proposto. A comparação entre a abordagem geométrica e o controlador PD aponta um desempenho muito parecido entre eles. The hybrid control concept is applied to the offoading operation by means of a Floating, Production, Working, Storage and Offoading (FPWSO) vessel and a Shuttle Tanker (ST). Both vessels are able to maintain their position and heading as a result of the Dynamic Positioning System (DPS). The vessels are in tandem configuration connected by a hawser. The offloading operation lasts approximately 24 hours. During this period, the sea condition may change and the drafts are being constantly altered. Hybrid controller is designed to permit modification of the controller/observer parameters should a significant sea state alteration and/or draft variation occur. The main goal of the controllers is to maintain relative positioning between vessels in order to avoid dangerous proximity or excessive hawser tension. With that in mind, a new control strategy is proposed based on dierential geometry that acts integrally in both vessels. Nonlinear observers based on passivity are used to estimate position, velocity and external force ranging from calm to extreme seas. The criterion for changing the controller/observer law is based on draft and sea state. The draft is assumed to be known and sea state is estimated by tracking the peak-frequency of the first-order vessel motion spectrum. A perturbation-based model is proposed to find the number of hybrid system controllers. The equivalence between the geometric control approach and the Lagrange Multiplier (LM) - based control is demonstrated. Taking some assumptions as given, the equivalence between geometric and PD-like controllers is regarded as having also been demonstrated. The performance of the new strategy is assessed by means of numerical simulations and compared to a Proportional-Derivative (PD)-like control. The results present a very good performance as regards the proposed main goal. Result comparison of the geometric approach and the PD-like control shows very similar behavior between geometric and PD-like controllers.

This work consists of two parts. In the first part we study nonnegative minimizers of general degenerate elliptic functionals, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, for variational kernels F that are discontinuous in ụ with discontinuity of order ~ X{u>0}. The Euler-Lagrange equation is therefore governed by a non-homogeneous, degenerate elliptic equation with free boundary between the positive and the zero phases of the minimizer. We show optimal gradient estimate and nondegeneracy of minima. We also address weak and strong regularity properties of free boundary, ∂ red {u>0}, has H n-1- total measure. For more specific problems that arise in jet flows, we show the reduced free boundary is locally the graph of a C1,y function. In the second part of work we provide a rather complete description of the sharp regularity theory for a family of heterogeneous, two-phase variational free boundary problems, y→ min, ruled by nonlinear, degenerate elliptic operators. Included in such family are heterogeneous jets and cavities problems of Prandtl-Batchelor type, y = 0; singular degenerate elliptic equations and obstacle type systems, y = 1. Linear versions of these problems have been subjects of intense research for the past four decades or so. The nonlinear counterparts treated in this present work introduce substantial new difficulties since the most of the classical theories developed earlier, such that as monotonicity and almost monotonicity formulae, are no longer available. Nonetheless, the innovative solutions designed in this work provide new answers even in the classical context of linear, nondegenerate equations. Este trabalho é constituído de duas partes. Na primeira parte estudamos mínimos não negativos de funcionais elípticos degenerados, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, para núcleos variacionais F que são descontínuos em u com descontinuidade de ordem ~ X{u>0}. A equação de Euler-Lagrange é governada por uma equação elíptica degenerada e não-homogênea, com fronteira livre entre as fases positiva e zero do mínimo. Mostraremos estimativa gradiente ótima e não-degenerescência do mínimo. Também trataremos de propriedades de regularidade fracas e fortes de fronteira livre. Provaremos que o conjunto {u>0} tem localmente perímetro finito e que a fronteira livre reduzida ∂ red {u>0} tem medida Hn-1-total. Para problemas mais específicos que aparecem em Jet flows, provaremos que a fronteira livre reduzida é localmente o gráfico de uma função C1,y. Na segunda parte do trabalho forneceremos uma descrição bastante completa da teoria de regularidade ótima para uma família de problemas de fronteira livre de duas fases, heterogêneos, y→ min, governados por operadores elípticos degenerados e não-lineares. Incluídos em tal família estão os problemas de Jet flows heterogêneos e os problemas de cavidades do tipo Prandtl-Batchelor, y = 0; equações elípticas degeneradas singulares e sistemas do tipo obstáculo y =1.Versões lineares destes problemas têm sido objeto de intensa pesquisa nas últimas quatro décadas ou mais. As contrapartidas não-lineares tratadas neste trabalho introduzem novas e consideráveis dificuldades, pois a maioria das teorias desenvolvidas anteriormente, tais como fórmulas de monotonicidade e de quase monotonicidade não estão disponíveis. Contudo, as soluções inovadoras desenvolvidas neste trabalho fornecem novas respostas mesmo no contexto clássico de equações lineares e não-degeneradas.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2007. Texto parcialmente liberado pelo autor. O presente trabalho de investigação tem como tema o Teorema de Bernstein. Buscou-se como objetivo demonstrar de formas diferentes o Teorema de Bernstein, já que este teorema é um resultado muito extraordinário, pois levando em conta a multiplicidade de soluções que possui a equação de Lagrange, é realmente instigante que o mero fato da solução estar definida para todo (x, y) exclua todas as soluções menos a solução trivial. Far-se-á também a demonstração para o Teorema de do Carmo-Peng e Fischer Colbrie-Schoen. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT In this dissertation. We give three different proofs of the Bernstein theorem and a proof of the theorem of do Carmo-Peng and Fischer Colbrie-Schoen.

The notions or categories of causality and determinism have accompanied the formation of modern sciences, and primarily those of physics. The current nowadays use tends often, but wrongly, to get them identified in the reevaluations to which they are submitted in physics itself. In this work we intend to clarify the first of these notions, more precisely physical causality, by following its elaboration with the beginnings of dynamics, through its first utilizations and conceptualizations in the making of the mathematization of mechanics, before being extended to physics in a general way. We will see how, while having been supported by one of the traditional philosophical aspects of the idea of causality (that one of “efficient cause”), physical causality breaks with the metaphysical meaning that was previously attached to it. Rather more than in the Newton's Principia, as it is usually thought, it is in the re-elaboration made by d'Alembert, in his Treatise of dynamics, of the laws of motion considered as principles, and expressed by differential calculus, that the idea of physical causality is explicitly considered indissociably of its effect, that is the change of motion. The respective thoughts of Newton and d'Alembert on the notions of cause and force are, in this respect, in opposition with regard to the properly physical nature of this change. The change of motion was viewed by d'Alembert as immanent to motion, for its cause could be circumscribed by its effect, whereas it remained mathematical and metaphysical in the newtonian conception of the external force taken as a mathematical substitute of the cause, which was the common way to consider forces before Lagrange's analytical mechanics. It is the physical conception inherited from d'Alembert that was thenafter to prevail through lagrangean analytical mechanics that permitted to re-integrate physically and rationally the concept of force in its eulerian differential transcription., As noções ou categorias de causalidade e determinismo acompanharam a formação das ciências modernas e, em primeiro lugar, da física. O uso corrente em nossos dias tende freqüente e erroneamente a confundi-las, nas reconsiderações feitas pela própria física. Propomo-nos esclarecer aqui a primeira dessas noções, examinando sua elaboração no início da dinâmica, por meio das primeiras operações e conceituações que acompanham a matematização da mecânica, antes dela ser estendida à física em geral. Veremos como, apoiando-se inteiramente em um aspecto filosófico tradicional da idéia de causalidade (aquele de "causa eficiente"), a causalidade física se estabelece em ruptura com o sentido metafísico que lhe era anteriormente associado. Mais do que no Principia de Newton, é na reelaboração por d'Alembert, no Traité de dynamique, das leis do movimento formuladas como princípios e expressas pelo cálculo diferencial, que a idéia de causalidade física é expressamente considerada como indissociável de seu efeito, que é a mudança de movimento. Os respectivos pensamentos de Newton e de d'Alembert sobre as noções de causa e de força estão a esse propósito em oposição, diferindo quanto à natureza propriamente física dessa mudança, considerada por d'Alembert como imanente ao movimento, segundo a causa circunscrita por seu efeito, enquanto ela permanece matemática e metafísica na concepção newtoniana da força externa, como substituto matemático das causas, tal como havia sido proposto antes de Lagrange. É a concepção física herdada de d'Alembert que prevaleceria a seguir por meio da mecânica analítica lagrangiana, que permitiu reintegrar o conceito de força em sua transcrição euleriana.

Este registo pertence ao Repositório Científico do LNEC Apresenta-se um estudo sistemático, baseado simultaneamente em análises formais e em experimentação numérica, da precisão e estabilidade da solução da equação de transporte por um método Euleriana-Lagrangeana (MEL). 0 método decompõe a equação de transporte em equações separadas de advecção e de difusão, resolvendo a primeira pelo método das características regressivas no tempo (MCR), e a segundo por um método de elementos finitos, do tipo Galerkin. Mostra-se que as interpolações no espaço requeridas pelo MCR são um factor limitativo da precisão global do MEL, e comparam-se diversas técnicas alternativas de interpolação, algumas das quais originais. A combinação de esquemas compactos e não-compactos de interpolação, baseados em polinómios de Lagrange, é apontada como uma potencial solução óptima. Demonstra-se que, para uma adequada escolha do esquema de interpolação, o MCR é consistente, estável e convergente e tem boas características de precisão. Escolhas inadequadas do esquema de interpolação podem, no entanto, causar instabilidade e inconsistência. Estabelece-se a dependência da precisão do MCR no passo de cálculo, mostrando-se que essa precisão aumenta, em geral (para um tempo total fixo), quando se reduz o número de passos de cálculo, isto é, quando se aumenta o passo de cálculo (uma propriedade simultaneamente pouco habitual e muito conveniente). No entanto, na gama de valores muito pequenos do Número de Courant, a precisão é praticamente independente do passo de cálculo, o que evita que o método se torne divergente. Analisa-se brevemente o efeito de malhas irregulares e pluridimensionais sobre a aplicabilidade e precisão do MCR. Apesar de sensível à irregularidade da malha, o método mantém boas características de precisão desde que as distorções geométricas não sejam excessivas. Malhas pluri-dimensionais, quando simultaneamente irregulares, levantam problemas específicos de aplicabilidade de esquemas não-compactos de interpolação; esses problemas poderão se resolvidos através da utilização conjugada de esquemas compactos e não-compactos, para um mesmo problema. Investigação adicional a ainda requerida nestas áreas. Mostra-se ainda que a presença de mecanismos físicos de difusão beneficia tanta a precisão da solução da equação de advecção como a precisão global do MEL. Finalmente, demonstra-se a eficácia da aplicação do MEL (numa forma particular, restricta a esquemas de interpolação compactos) à simulação do transporte de poluentes em águas costeiras. 0 método permite, em particular, realizar simulações longas (várias marés) a custos moderados, mesma para malhas irregulares com elevado número de nós, e, também, evitar a necessidade do uso de difusividades artificiais como garante de estabilidade; em geral, e nestes dois aspectos em particular, o método revela-se superior a métodos Eulerianos, mais convencionais (por exemplo, métodos de elementos finitos, do tipo Galrkin ou Petrov-Galerkin, aplicados à equação de transporte indivisa). ****** ****** ****** ****** ******