Conexões entre Números Congruentes e Curvas Elípticas

Números (em 1928), o qual afirma que E(Q) é um grupo abeliano finitamentegerado. O teorema de estrutura para grupos finitamente gerados garante que é possível decompor o grupo E(Q) na forma E(Q)=E(Q)_{tor} ⊕ Z^r, onde E(Q)_{tor} é o subgrupo de pontos de torção (elementos de ordem finito) eré um número inteiro chamado o posto de E(Q) (posto algébrico da curva elíptica, é um invariante da curva). Por outro lado, um número racional é dito congruente se ele representa a área de um triângulo retângulo cujos lados são números racionais. O problema dos Números Congruentes consiste precisamente em determinar se um dado número racional é congruente ou não. Neste trabalho apresentamos este problema e discutimos um resultado que estabelece a relaçãoentre Números Congruentes e Curvas Elípticas.
Números (em 1928), o qual afirma que E(Q) é um grupo abeliano finitamentegerado. O teorema de estrutura para grupos finitamente gerados garante que é possível decompor o grupo E(Q) na forma E(Q)=E(Q)_{tor} ⊕ Z^r, onde E(Q)_{tor} é o subgrupo de pontos de torção (elementos de ordem finito) eré um número inteiro chamado o posto de E(Q) (posto algébrico da curva elíptica, é um invariante da curva). Por outro lado, um número racional é dito congruente se ele representa a área de um triângulo retângulo cujos lados são números racionais. O problema dos Números Congruentes consiste precisamente em determinar se um dado número racional é congruente ou não. Neste trabalho apresentamos este problema e discutimos um resultado que estabelece a relaçãoentre Números Congruentes e Curvas Elípticas.
Las Curvas Elípticas ha sido muy usadas para el tratamiento de problemas importantes como la Criptografia, el Problema de Empacotamiento de Esferas, el Problema de los Números Congruentes, entre otros. Una de las principales características de una Curva Elíptica E es que el conjunto de sus puntos racionales, E(Q), tiene una estructura de grupo abeliano finitamente generado. Especificamente se tiene el famoso teorema demostrado por Mordell, para Curvas Elípticas Racionales, (en 1922) e generalizado por Weil para Curvas Elípticas sobre Cuerpos de Números (en1928), el cual afirma que E(Q) es un grupo abeliano finitamente generado. El teorema de estructura para grupos finitamente generados garantiza que es posible descomponer el grupo E(Q) en la  formaE(Q) = E(Q)_{tor} + Z}^r, donde E(Q)_{tor} es el subgrupo de puntos de torção (elementos de orden finito) e r es un número entero llamado el rango de E(Q) (rango algébraico de la curva elíptica,  un invariante de la curva). Por otro lado, un número racional es llamado congruente se el representa el área de un triângulo rectângulo cuyos lados son números racionales. El problema de los Números Congruentes consiste precisamente en determinar se un determinado número racional es congruente o no. En este trabajo presentamos este problema y discutimos un resultado que establece la relacion entre Números Congruentes y Curvas Elípticas.