On some nonlocal issues: unique continuation from the boundary and capillarity problems for anisotropic kernels

Lo scopo della presente tesi è quello di discutere i risultati ottenuti durante i miei studi di dottorato, principalmente rivolti a problemi non locali. Per prima cosa ci occupiamo di principi di continuazione unica forte ed espansioni asintotiche locali in determinati punti del bordo per soluzioni di due diverse classi di equazioni ellittiche. In particolare, partiamo con lo studio di una classe di equazioni ellittiche frazionarie in un dominio limitato sotto una condizione al contorno di Dirichlet omogenea esterna. Per fare ciò, sfruttiamo la procedura di estensione di Caffarelli-Silvestre, grazie alla quale il problema non locale può essere riformulato in modo equivalente come problema locale in una dimensione in più, generando un problema con condizioni miste. Dopodichè, utilizziamo un'idea classica di Garofalo e Lin per ottenere una condizione di raddoppio tramite una formula di monotonia per la funzione di Almgren. Per superare le difficoltà legate alla perdita di regolarità in corrispondenza della transizione tra le regioni di Dirichlet e di Neumann, introduciamo una nuova tecnica basata su un argomento di approssimazione, che ci permette di derivare una cosiddetta identità di tipo Pohozaev necessaria per stimare la derivata della funzione di Almgren . Otteniamo così un risultato di continuazione unica forte nel contesto locale, che viene a sua volta combinato con l’analisi di blow-up per dedurre espansioni asintotiche locali e, di conseguenza, una continuazione unica forte anche nel contesto non locale. Inoltre forniamo anche un risultato di continuazione unica forte dal bordo di una fessura per le soluzioni di una classe specifica di equazioni ellittiche del secondo ordine in un dominio limitato aperto con una frattura, su cui è assegnata una condizione al contorno di Dirichlet omogenea. Questo problema locale è correlato a un caso particolare dello studio descritto sopra, in virtù di una forte connessione tra questo tipo di problemi e i problem
The aim of the present thesis is to discuss the results obtained during my PhD studies, mainly devoted to nonlocal issues. We first deal with strong unique continuation principles and local asymptotic expansions at certain boundary points for solutions of two different classes of elliptic equations. We start the investigation by a class of fractional elliptic equations in a bounded domain under some outer homogeneous Dirichlet boundary condition. To do this, we exploit the Caffarelli-Silvestre extension procedure, which allows us to get an equivalent formulation of the nonlocal problem as a local problem in one dimension more, consisting in a mixed Dirichlet-Neumann boundary value problem. Then, we use a classical idea by Garofalo and Lin to obtain a doubling-type condition via a monotonicity formula for a suitable Almgren-type frequency function. To overcome the difficulties related to the lack of regularity at the Dirichlet-Neumann junction, we introduce a new technique based on an approximation argument, which leads us to derive a so-called Pohozaev-type identity needed to estimate the derivative of the Almgren function. Thus we gain a strong unique continuation result in the local context, which is in turn combined with blow-up arguments to deduce local asymptotics and, consequently, a strong unique continuation result in the nonlocal setting as well. We also provide a strong unique continuation result from the edge of a crack for the solutions to a specific class of second order elliptic equations in an open bounded domain with a fracture, on which a homogeneous Dirichlet boundary condition is prescribed, in the presence of potentials satisfying either a negligibility condition with respect to the inverse-square weight or some suitable integrability properties. This local problem is related to a particular case of the setting described above, by virtue of a strong connection between this type of problems and the mixed Dirichlet-Neumann boundary value problems.