Extending classical gauge theories to E-manifolds

Les teories gauge descriuen la dinàmica d'una partícula clàssica amb graus interns de llibertat. L'espai de configuracions és un fibrat associat a un fibrat principal $\pi\colon P \longrightarrow M$ amb grup d'estructura $G$, i les equacions de moviment reben el nom d'equacions de Wong. Les teories Yang-Mills, les quals són la base del model estàndard de la física, són una teoria gauge amb grup d'estructura $G = \operatorname{U}(1) \times \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(3)$. Weinstein va provar que l'espai de fase natural d'una teoria gauge es pot descriure mitjançant una reducció simplèctica i que les equacions de Wong són hamiltonianes. Respecte de l'espai de fase en una teoria de Yang-Mills, Montgomery va observar que l'espai de fase de Weinstein és una fulla simplèctica d'una varietat de Poisson i va generalitzar l'isomorfisme de Weinstein amb l'espai de fase de Sternberg a varietats de Poisson. Aquest resultat rep el nom d'acoblament mínim. En aquest treball estenem els resultats de Weinstein i Montgomery a $E$-varietats, on el fibrat tangent se substitueix per un subfibrat anomenat fibrat $E$-tangent. Les varietats amb vora, les varietats amb cantonades i les varietats foliades són exemples d'$E$-varietats. Fent servir resultats coneguts, hem provat que els formalismes de les teories clàssiques de gauge i de Yang-Mills, proposades per Weinstein i Montgomery, respectivament, es poden aplicar quan l'espai base $M$ és una $E$-varietat. Es pot aplicar aquest resultat, per exemple, a l'estudi del model estàndard clàssic en un espai-temps compactificat de Penrose.
Las teorías gauge describen la dinámica de una partícula clásica con grados internos de libertad. El espacio de configuraciones es un fibrado asociado a un fibrado principal $\pi\colon P \longrightarrow M$ con grupo de estructura $G$, y las ecuaciones de movimiento reciben el nombre de ecuaciones de Wong. Las teorías Yang-Mills, las cuales son la base del modelo estándar de la física, son una teoría gauge con grupo de estructura $G = \operatorname{U}(1) \times \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(3)$. Weinstein demostró que el espacio de fase natural en una teoría gauge se puede obtener por medio de una reducción simpléctica y que las ecuaciones de Wong son hamiltonianas. Respecto al espacio de fases en una teoría de Yang-Mills, Montgomery observó que el espacio de fases de Weinstein es una hoja simpléctica de un espacio de Poisson y generalizó el isomorfismo de Weinstein con el espacio de fases de Sternberg a variedades de Poisson. Este resultado se conoce como el procedimiento de acoplamiento mínimo. En este trabajo extendemos los resultados conocidos para teorías de gauge clásicas a $E$-variedades, en las que el fibrado tangente se reemplaza por un subfibrado integrable llamado fibrado $E$-tangente. Las variedades con borde, las variedades con esquinas y las variedades foliadas son ejemplos de $E$-variedades. Usando resultados conocidos en la literatura, hemos demostrado que los formalismos de las teorías de gauge y de Yang-Mills clásicas, propuestos por Weinstein y Montgomery, respectivamente, son válidos cuando el espacio base $M$ es una $E$-variedad. Este resultado puede aplicarse, por ejemplo, para el estudio del modelo estándar clásico en un espacio-tiempo compactificado de Penrose.
Gauge theories describe the dynamics of a classical particle with internal degrees of freedom. The natural configuration space is associated to a $G$-principal bundle $\pi\colon P \longrightarrow M$ and the equations of motion are called Wong's equations. Yang-Mills theories, which are the basis of the standard model of physics, are a gauge theory with structure group $G = \operatorname{U}(1) \times \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(3)$. Weinstein observed that the natural phase space of gauge theories can be obtained by a symplectic reduction, and that Wong's equations are Hamiltonian. For the natural phase space of Yang-Mills theories, Montgomery observed that the natural phase space of Weinstein is a symplectic leaf of a Poisson manifold, and generalized Weinstein's isomorphism with Sternberg's phase space to Poisson manifolds. This result is called the minimal coupling procedure. In this work, we extend this setting to classical gauge theories over $E$-manifolds, in which the tangent bundle is replace by an integrable subbundle, called the $E$-tangent bundle. Manifolds with boundary, manifolds with corners, and foliated manifolds are examples of $E$-manifolds. Using standard results in the literature, we have proved that the formulation of classical gauge and Yang-Mills theories by Weinstein and Montgomery, respectively, hold when the base manifold is taken to be an $E$-manifold. This result can be applied, for example, to study the classical standard model in a Penrose compactified space-time.