Majorization theoretical approach to quantum uncertainty: From Wigner entropy to Gaussian bosonic channels

This thesis is centered on a novel approach to quantum uncertainty based on applying the theory of continuous majorization to quantum phase-space distributions. Majorization theory is a powerful mathematical framework that is aimed at comparing distributions with respect to intrinsic disorder. It is particularly significant in the sense that establishing a majorization relation between two distributions amounts to proving that every (Shur-concave) measure of disorder will categorize one distribution as more ordered than the other. Although this is less known, the distributions here do not need to be normalized nor positive for majorization theory to apply, so the latter even extends beyond probability distributions. Further, a majorization relation can rigorously be defined for both discrete and continuous distributions over a finite-size domain, as well as for (discrete and continuous) distributions that are positive over an infinite-size domain.The central thrust of this thesis is to characterize quantum uncertainty in phase space by applying the tools of majorization theory to the Wigner function, which is the most common (quasi)distribution that embodies a quantum state in phase space. Wigner functions are in general positive and negative, putting them beyond the reach of most information-theoretical measures but perfect candidates for the theory of majorization. We start our manuscript with a succinct overview of the basics of quantum optics in phase space, which are a prerequisite for the characterization of disorder in phase space. This gives us the occasion to present a secondary achievement of the thesis consisting in establishing a resource theory for local Gaussian work extraction, which exploits the symplectic formalism within quantum thermodynamics. In this context, work can be defined as the difference between the trace and symplectic trace of the covariance matrix of the state, and it displays a number of interesting properties. Back to our primary in
Cette thèse est centrée sur une nouvelle approche de l'incertitude quantique basée sur l'application de la théorie de la majorisation continue aux distributions de l'espace des phases quantique. La théorie de la majorisation est un cadre mathématique puissant qui vise à comparer des distributions par rapport à leur désordre intrinsèque. Elle est particulièrement importante dans le sens où établir une relation de majorisation entre deux distributions revient à prouver que toute mesure (Shur-concave) du désordre classera une distribution comme plus ordonnée que l'autre. Bien que cela soit moins connu, les distributions ici n'ont pas besoin d'être normalisées ni positives pour que la théorie de la majorisation s'applique, de sorte que cette dernière s'étend même au-delà des distributions de probabilité. De plus, une relation de majorisation peut être rigoureusement définie pour les distributions discrètes et continues sur un domaine de taille finie, ainsi que pour les distributions (discrètes et continues) qui sont positives sur un domaine de taille infinie. L'idée maîtresse de cette thèse est de caractériser l'incertitude quantique dans l'espace des phases en appliquant les outils de la théorie de la majorisation à la fonction de Wigner, qui est la (quasi-)distribution la plus commune qui incarne un état quantique dans l'espace des phases. Les fonctions de Wigner sont en général positives et négatives, ce qui les place hors de portée de la plupart des mesures de la théorie de l'information mais en fait des candidats parfaits pour la théorie de la majorisation. Nous commençons notre manuscrit par un aperçu succinct des bases de l'optique quantique dans l'espace de phase, qui sont une condition préalable à la caractérisation du désordre dans l'espace des phases. Cela nous donne l'occasion de présenter une réalisation secondaire de la thèse consistant à établir une théorie des ressources pour l'extraction du travail gaussien local, qui exploite le formalisme symplectique
Doctorat en Sciences de l'ingénieur et technologie
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