Lie Groups and Applications to Shape Analysis

Lie groups are essentially groups in the continuous setting, representing continuous symmetries of different geometric objects, just like finite groups do in the discrete setting. Lie groups exhibit marvellous structures, which enable us to take advantage of analysis and group theory when studying them. This is due to Lie groups being manifolds with a group structure. Lie groups started off as a tool to study the solutions of differential equations. They are still used in that manner in the field of differential Galois theory, where one asks whether specific differential equations are soluble in some context. Additionally, Lie theory, the correspondence between Lie groups and Lie algebras constitute a subject of study in modern differential geometry. In this work we develop the basics of Lie theory focusing on the properties of the Lie correspondence via the exponential map. We continue on to define metrics on a Lie group and introduce one of the most prominent tools in statistics in the Lie setting, that is, the principal component analysis. We then apply this to study some distributions on Lie groups, specifically on $SO_n(\mathbb{R})$ and on the group of medial representations. The medial representations are fundamental objects in modern shape analysis. The study on medial axes was initiated by Harry Blum. We add some properties on his definition of a medial axis to achieve data on a Lie group, which we can then study using principal geodesic analysis. Doing this, we heavily rely on the work of P. Thomas Fletcher.
Lien ryhmät vastaavat perinteisiä ryhmiä jatkuvassa asetelmassa, joten niillä voidaan esittää jatkuvien geometrioiden kappaleiden symmetrioita. Ryhmärakenteen lisäksi Lien ryhmät ovat sileitä monistoja, jolloin algebrallisten työkalujen lisäksi voimme turvautua geometrisiin sekä analyyttisiin argumentteihin. Alun perin Lien ryhmiin törmättiin tutkittaessa differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja. Niitä käytetään yhä tähän tapaan differentiaalisen Galois'n teorian parissa, missä tutkitaan differentiaaliyhtälöiden tietynlaista ratkeavuutta. Tämän lisäksi Lien teoria, siis Lien algebroiden ja Lien ryhmien vastaavuus toistensa kanssa, on tärkeä osa nykyistä differentiaaligeometriaa. Tässä opinnäytteessä esitetään Lien teorian perusteet. Tämän jälkeen määritämme Lien ryhmille sopivan metriikan, jotta voimme esittää statistisia kysymyksiä pistejoukoille Lien ryhmissä. Erityisesti keskitymme pääkomponenttianalyysiin. Näiden työkalujen avulla tutkimme muutamia esimerkki jakaumia Lien ryhmillä, kuten joukolla $SO_n(\mathbb{R})$ ja mediaalisten esitysten ryhmällä. Mediaaliset esitykset ovat tärkeitä olioita modernissa muotoanalyysissa. Harry Blum oli ensimmäinen, joka huomasi näiden esitysten tärkeyden. Tässä opinnäytteessä muokkaamme hieman hänen määritelmäänsä mediaalisesta luurangosta, jotta saamamme data asuisi Lien ryhmässä. Tällöin voimme hyödyntää työssä esitettyjä työkaluja Lien ryhmille muotoanalyysin parissa. Tämän lähestymistavan esitteli alkujaan P. Thomas Fletcher.