Cyklisk jakt och flykt i planet

Let n bugs constitute the corners of an n-sided polygon. If the bugs cyclically pursue each other, the positions of the bugs will satisfy a system of ordinary differential equations, which we study. We examine the system for different n, but focus on the case n=3. When n=3, the bugs form a triangle. In this case, the solution will converge to some point. We study how the convergence occur. Ignoring translation, rotation and scaling, the triangle converges to a line. Further, we also consider when the three bugs escape from each other. If we again ignore rotation, translation and scaling, the triangle converges to an equilateral triangle. Finally, most theory in this thesis is already known, but we present a new proof for the convergence when three bugs pursuit each other.
Vi har n=3 insekter: S1, S2 och S3 placerade i ett plan. Insekterna kommer då, oavsett hur de placeras i planet, kunna ses som hörnen i en triangel. Vi låter sedan insekterna jaga varandra cykliskt. Hur ser vägen ut som insekterna tar? Redan 1877 formulerade Edouard Lucas denna fråga och sedan dess har problemet studerats och även kompletterats med nya frågor av flera forskare. Till exempel kan man fråga sig om alla insekter kommer att kollidera samtidigt eller inte. Dessutom kan antalet insekter ökas. I den här uppsatsen kommer vi framförallt att fokusera på när insekterna bildar en (ickedegenererad) triangel. I det fallet kommer alla insekterna att krocka samtidigt, även om en insekt är långt ifrån de två andra, så att triangeln som bildas är oliksidig. Om antalet insekter är större är det inte säkert att alla krockar samtidigt. Låt nu antalet insekter vara tre. Insekterna kommer alltså att krocka samtidigt, men hur rör de sig i förhållande till varandra fram tills kollisionen? Det kan visas att om insekternas startpositioner inte bildar en liksidig triangel, så kommer insekternas positioner gå mot att ligga på en linje. För ett större antal insekter verkar det som att så länge n<7 går insekterna mot att ligga på en linje, vilket överensstämmer med fallet ovan med tre insekter. Däremot om n är större än eller lika med 7 tycks insekterna konvergera mot en regelbunden polygon innan kollisionen sker. Som nämndes tidigare, är det inte säkert att alla insekter krockar samtidigt om antalet insekter är fler än tre. Om vi har fyra insekter kommer inte alla att krocka samtidigt om insekternas startpositioner bildar en konkav fyrhörning. Däremot kommer de kollidera samtidigt om fyrhörningen som insekterna utgör är konvex. Om antalet insekter är fler än fyra, är det vanligaste att alla insekter krockar samtidigt. Vidare, kan insekterna istället fly från varandra. Även här fokuserar vi på n=3. I det fallet kommer triangeln som insekterna bildar att expandera obegränsat men vi