Numerical Calculations of Static and Dynamic Optimal Consumption and Products

I denne opgave ses på nogle af de valg en forsikringstager kan tage i forbindelse med tegning af livsforsikring. Første del af opgaven omhandler en et-livs model hvor et antal forskellige nytteoptimeringsproblemer beskrives matematisk og løses. Der ses på tre grader af kontrol af betalingskoefficienterne som består af en præmie, en dødssum og en pensionsudbetaling. Vi løser forsikringstagerens optimeringsproblem i tilfældet hvor han vælger sine betalingskoefficienter ved tegning hvorefter de holdes konstant, vi løser tilfældet hvor kontrollerne må ændres kontinuert frem til pensionstidspunktet men holdes konstant fra da af, sidst løser vi problemet hvor forsikringstageren kontinuert må omvælge sine kontroller helt frem til kontraktens sluttidspunkt. Vi laver numeriske beregninger på de optimale forbrug og ser at forbruget er aftagende sålænge forsikrings- tagerens subjektive diskonteringfaktor er større end den tekniske (og reelle) rente. Vi sammenholder med tilsvarende resultater fra en artikel af Kraft & Steffensen (2008) og finder ligheder men også væsentlige forskelle, hvor den største forskel nok består i at artiklen tilsyneladende beregner forbruget for fastholdt dødssum. Anden del af opgaven beskriver en to-livs model, hvor manden betaler præmier og beg- ge modtager pension. Vi finder deres optimale forbrug både for statiske og dynamiske kontroller. For de statiske sammenligner vi med et-livs modellen og for det dynamiske sammenholder vi vores resultater med en artikel af Bruhn & Steffensen (2010) som om- handler optimering af dynamisk forbrug, investering og livs-forsikring for en husstand.
This paper deals with the choices of individuals who wish to take out life insurance. We start out in a one-life life-death model and provide a detailed mathematical description of a number of utility optimization problems that our policyholder could be facing. We solve the problem with static premium, death sum and pension payment, i.e. they are chosen at initiation and fixed thenceforth. We also solve the problem where the controls can be chosen dynamically, one case where the controls are fixed at pension time and one where they are dynamic also through retirement. We perform numerical calculations and find that all the optimal consumption rates are decreasing when the policyholders subjective discount rate is larger than the interest rate. Our results turn out to be more or less similar to results presented in an article by Kraft & Steffensen (2008), although there are some remarkable differences in our numerical findings which partly seems to be because the article do their calculations with fixed death sum. The second part of the paper describes the utility optimization problem of a married couple where the husband pays premium and both receive pension payments resulting in 5 controls. We find static controls in a ’standard’ way and in a more special way and find that the results of the first version can be reduced to the controls from the one-life model when eliminating the two-life aspects. We also find dynamic optimal controls for the couple, which we find confirmed by an article by Bruhn & Steffensen (2010).