Compactness properties of Volterra-type integral operators on analytic function spaces

The topic of this dissertation lies at the intersection of analytic function theory and operator theory. In the thesis, compactness and structural properties of a class of Volterra-type (integral) operators acting on analytic function spaces are investigated. The Volterra-type operator is obtained by integrating a product of two analytic functions, where one of these functions, the so-called symbol of the operator, is fixed and the other one is considered to be a variable. This integral operator was introduced by C. Pommerenke in 1977 in connection to exponential integrability of BMOA-functions. A systematic research of Volterra-type operators was initiated by Aleman and Siskakis in the mid-1990s when they characterized the boundedness and compactness of these operators on the Hardy spaces and weighted Bergman spaces. In the first article of the thesis, we derive estimates for the essential and weak essential norms of a Volterra-type operator in terms of its symbol when the operator is acting on the Hardy spaces, BMOA and VMOA. The essential and weak essential norms of a linear operator are its distances from compact and weakly compact operators respectively. In particular, it follows from our estimates that the compactness and weak compactness of Volterra-type operator coincide when its domain is the non-reflexive Hardy space, BMOA, or VMOA. In the second article, a notion of strict singularity of a linear operator is investigated in the case of the Volterra-type operator acting on the Hardy spaces. An operator between Banach spaces is strictly singular if its restriction to any closed infinite-dimensional subspace is not a linear isomorphism onto its range. We construct an isomorphic copy M of the sequence space of p-summable sequences and show that a non-compact Volterra-type operator restricted to M is a linear isomorphism onto its range. This implies that the strict singularity and compactness of this operator coincide in the Hardy space case. In the third arti
Väitöskirja kuuluu operaattoriteorian ja kompleksianalyysin alaan. Työssä tarkastellaan Volterra-tyyppisiä lineaarisia integraalioperaattoreita ja niiden kompaktisuusominaisuuksia. Kyseisen operaattorin esitteli Pommerenke vuonna 1977 ns. BMOA-funktioiden eksponentiaalisen integroituvuuden yhteydessä. Volterra-tyyppinen operaattori esiintyy usealla matemaattisen analyysin alalla kuten kompositio-operaattoreiden puoliryhmien teorian yhteydessä. Operaattorin systemaattisen tutkimuksen aloitti Aleman ja Siskakis yhteistyökumppaneineen 1990-luvun puolivälissä karakterisoimalle sen rajoittuneisuuden ja kompaktisuuden Hardy-ja Bergman-avaruuksilla. Väitöskirjassa johdetaan estimaatteja Volterra-tyyppisen operaattorin etäisyydelle kompaktien ja heikosti kompaktien operaattoreiden ideaaleista sen symbolin avulla ilmaistuna. Näistä arvioista seuraa esimerkiksi kyseisen operaattorin kompaktisuuden ja heikon kompaktisuuden yhtäpitävyys tiettyjen funktio-avaruuksien tapauksissa. Lisäksi työssä osoitetaan, että Hardy-avaruuksilla määritellyn Volterra-tyyppisen operaattorin rajoittuma eräälle p-summautuvien jonojen avaruuden kanssa isomorfiselle aliavaruudelle on alhaalta rajoitettu. Tästä seuraa erityisesti, että tämän operaattorin aito singulaarisuus ja kompaktisuus ovat yhtäpitäviä Hardy-avaruuden tapauksessa.