Anvendelser af fuldstændig asymptotisk unitær ækvivalens

Specialet omhandler de mest relevante opdagelser, der er kommet af Søren Eilers' og Marius Dadarlats koncept om fuldstændig asymptotisk unitær ækvivalens i $KK$-teori. Specialet indeholder en forklarende gennemgang af artiklen hvor fuldstændig asymptotisk unitær ækvivalens er introduceret, og der bliver vist at dette fører til den samme $KK$-teori som Kasparovs. Da ækvivalensen var fastsat, tog Hyon Ho Lee det videre og fandt ud af at ækvivalensen kan være brugbar indenfor teorien om Fredholm operatorer, og definerede den essentielle codimension af et Cuntz par af projektioner til at være en klasse i $KK_h(A,B)$, og derved fik nødvendige betingelser for at løfte projektioner i corona algebraen til multiplikator algebraen. Til slut, kigger vi på M. Dadarlats definition af en pseudo-metrik som måler hvor langt Cuntz par er fra at være fuldstændig asymptotisk unitært ækvivalente, og vi viser dernæst at topologien induceret af denne pseudo-metrik på $KK(A,B)$ får $KK(A,B)$ til at blive fuldstændigt og separabelt.
The thesis will be concerned with exploring the most relevant discoveries relating to Søren Eilers' and Marius Dadarlats notion of proper asymptotic unitary equivalence in $KK$-theory. The thesis contains a explanatory run-down of the paper in which the notion of proper asymptotic unitary equivalence is introduced, and it is shown that this leads to the same $KK$-theory as that of Kasparovs $KK-theory$. Having established the equivalence, Hyon Ho Lee took it further and found that the equivalence can find uses in the theory of Fredholm operators and defined the essential co-dimension of a Cuntz pair of projections to be a class of $KK_h(A,B)$, and thus obtained reasonable conditions for lifting a projection of the corona algebra to a projection in the multiplier algebra. Finally we take a look at M. Dadarlats definition of a pseudo-metric which looks at how far Cuntz pairs are from being proper asymptotic unitary equivalent, and then shows that the topo\-logy induced by that pseudo-metric on $KK(A,B)$ makes $KK(A,B)$ complete and separable.