On the minimal number of periodic Reeb orbits on a contact manifold

Le sujet de cette thèse est la question du nombre minimal d'orbites de Reeb distinctes sur une variété de contact qui est le bord d'une variété symplectique compacte.L'homologie symplectique $S^1$-équivariante positive est un des outils principaux de cette thèse; elle est construite à partir d'orbites périodiques de champs de vecteurs hamiltoniens sur une variété symplectiquedont le bord est la variété de contact considérée.Nous analysons la relation entre les différentes variantes d'homologie symplectique d'une variété symplectique exacte compacte (domaine de Liouville) et les orbites de Reeb de son bord.Nous démontrons certaines propriétés de ces homologies.Pour un domaine de Liouville plongé dans un autre, nous construisons un morphisme entre leurs homologies.Nous étudions ensuite l'invariance de ces homologies par rapport au choix de la forme de contact sur le bord.Nous utilisons l'homologie symplectique $S^1$-équivariante positive pour donner une nouvelle preuve d'un théorème de Ekeland et Lasrysur le nombre minimal d'orbites de Reeb distinctes sur certaines hypersurfaces dans $R^{2n}$.Nous indiquons comment étendre au cas de certaines hypersurfaces dans certains fibrés en droites complexes négatifs.Nous donnons une caractérisation et une nouvelle façon de calculer l'indice de Conley-Zehnder généralisé, défini par Robbin et Salamon pour tout chemin de matrices symplectiques.Ceci nous a mené à développer de nouvelles formes normales de matrices symplectiques./This thesis deals with the question of the minimal number of distinct periodic Reeb orbits on a contact manifold which is the boundary of a compact symplectic manifold.The positive $S^1$-equivariant symplectic homology is one of the main tools considered in this thesis.It is built from periodic orbits of Hamiltonian vector fields in a symplectic manifold whose boundary is the given contact manifold.Our first result describes the relation between the symplectic
Doctorat en Sciences
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