Special topics in orthogonal polynomials

Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır.Birinci bölüm girişe ayrılmıştır. Bu bölümde, ortogonal polinomlarla ilgili genel bilgilerverilmiştir.İkinci bölümde; Hermite ve Laguerre polinomları ile ilgili bilgiler verildikten sonra, bupolinomların özellikleri ve birbirleriyle olan ilişkileri üzerinde durulmuştur.Üçünçü bölümde; Jacobi polinomları ve onun bir alt sınıfı olan ultraküresel polinomlarayer verilmiştir. Bölümün ileriki kısımlarında polinomların özellikleri incelenmiştir.Dördüncü bölümde; ortogonal polinomların çarpımlarının lineerleştirilmesi elealınmıştır. Ayrıca Bessel fonksiyonları için lineerleştirme formülü bulunmuştur.Beşinci bölümde; hipergeometrik ortogonal polinomlar hakkında bilgiler ve özelliklerverilmiştir.Altıncı bölümde; aynı türden ortogonal polinomlar arasındaki bağlantı katsayılarıkonusu ele alınmıştır. Ayrıca pozitif kuvvet seri katsayıları ile ilgili bir takım özelliklerverilmiştir.Yedinci bölümde; genel olarak polinomların pozitif toplanabilmesi konusu üzerindedurulmuş ve özel olarak da, Jacobi polinomları ve ultraküresel polinomlarıntoplamlarının pozitifliği incelenmiştir.Anahtar Kelimeler: Hermite, Laguerre ve Jacobi polinomları, Ultraküresel polinomlar,Doğurucu fonksiyonlar, İntegral gösterimler, Polinomların pozitif toplamları This thesis consists of seven chapters.The first chapter is devoted to introduction. In this chapter, general informations aboutthe orthogonal polynomials are given.In the second chapter, after giving informations of Hermite and Laguerre polynomials,the properties of these polynomials and the relations between them are analyzed.In the third chapter, Jacobi polynomials and its subsection utraspherical polynomials arediscussed. In the following parts, properties of these polynomials are examined.In the fourth chapter, linearization of products of orthogonal polynomial is dealt.Moreover, linearization formula for Bessel functions is found.In the fifth chapter, informations about hypergeometric orthogonal polynomials andtheir properties are given.In the sixth chapter, the connection coefficients between the same type polynomials arediscussed. Also some properties of positive power series coefficients are given.In the seventh chapter, generally positive summabilitiy properties of polynomials aregiven and in particular, the positive sum of Jacobi polynomials and ultrasphericalpolynomials are examined.Key Words: Hermite, Laguerre and Jacobi polynomials, Ultraspherical polynomials,Generating functions, Integral representations, Positive polynomial sums 170