Yliopisto-opiskelijoiden väärinymmärrykset integraalilaskennassa insinöörimatematiikan opintojaksoilla

This thesis studies the errors made by first-year engineering mathematics students in integral calculus and the misconceptions that lie behind those errors. The errors are examined to study the differences between the conceptual and procedural proficiency of the students between the two methods of teaching. The methods are called flipped and traditional models. The flipped model follows the flipped learning ideology, which highlights student-centered learning as well as supports the intrinsic motivation of the students. Instead of traditional lectures the students in the flipped model familiarized themselves with the subject independently using i.e. videos. In the traditional model, the students were offered two lectures each week to familiarize themselves with the subject. The participants of the study consisted of 35 students with the lowest scores in the entry-level test. 11 of them studied in the flipped model and 24 studied in the traditional model. The research material was collected from examination problems concerning integral calculus in engineering mathematics courses 1 and 3 during the academic year 2019-2020. The material was analyzed following a theory-driven content analysis. The errors made by the students were divided into classes, which were categorized either as procedural or conceptual errors. The material was also analyzed using quantitative methods. The qualitative results of the analysis state that the procedural errors made by the students belong to four classes. These classes were integrating factors separate, errors in integrating composite functions, errors in limits of definite integrals, and confusing derivation with integration. The conceptual errors were mostly identified through notes made by the students. Conceptual errors were divided into three classes based on the concept that the misconception was related to. The concepts were definite integral, antiderivative, and integration. The results also showed that students in the flipped model made fewer conceptual errors than the students in the traditional model. Tässä tutkimuksessa tarkastellaan ensimmäisen vuoden tekniikan kandidaattiopiskelijoiden tekemiä virheitä sekä niiden taustalla olevia väärinymmärryksiä integraalilaskennan osalta insinöörimatematiikan opintojaksoilla. Lisäksi virhetarkastelun avulla selvitetään eroja opiskelijoiden käsitteellisen ja proseduraalisen tiedon osaamisessa kahden eri opetusmenetelmän välillä. Opetusmenetelmiä kutsutaan työssä käänteiseksi sekä perinteiseksi malliksi. Käänteisellä mallilla opetus noudatti käänteisen oppimisen ideologiaa, jossa korostetaan opiskelijoiden omalähtöistä oppimista sekä heidän sisäisen motivaationsa tukemista. Käänteisen mallin opiskelijat tutustuivat opetettavaan asiaan luento-opetuksen sijaan omatoimisesti muun muassa opetusvideoiden avulla, kun taas perinteisellä mallilla uuteen asiaan tutustuttiin kaksi kertaa viikossa pidettävillä luennoilla. Tutkimuksen kohdejoukoksi valikoitui 35 perustaitotestissä heikoiten pärjännyttä opiskelijaa, joista 11 opiskelijaa osallistui käänteisen mallin toteutukselle ja loput 24 opiskelijaa perinteisen mallin toteutukselle. Tutkimuksen aineisto kerättiin lukuvuoden 2019--2020 Insinöörimatematiikka 1 sekä Insinöörimatematiikka 3 -opintojaksojen kahden integraalilaskentaa käsittelevän tenttitehtävän vastauksista. Aineisto analysoitiin teoriaohjaavaa sisällönanalyysia noudattaen, jolloin opiskelijoiden tekemät virheet yhdisteltiin eri luokiksi ja luokat jaoteltiin aikaisemman viitekehyksen mukaan käsitteellisiin ja proseduraalisiin virheisiin. Aineistoa käsiteltiin lisäksi määrällisen analyysin keinoin. Tutkimuksen laadullisen analyysin tulosten mukaan opiskelijoiden tekemät proseduraaliset virheet jakaantuivat neljään eri yläluokkaan, jotka olivat tulon tekijöiden integrointi erikseen, virheet yhdistetyn funktion integroinnissa, virheet määrätyn integraalin rajojen sijoituksessa sekä integroinnin ja derivoinnin sekoittuminen. Tutkimuksen käsitteelliset virheet sen sijaan tulivat pääasiassa ilmi opiskelijoiden käyttämien merkintöjen kautta ja jakaantuivat kolmeen eri yläluokkaan sen mukaan, mihin käsitteeseen väärinymmärryksen katsottiin liittyvän: määrättyyn integraaliin, integraalifunktioon tai itse integrointiprosessiin. Tuloksista kävi lisäksi ilmi, että käänteisen mallin opiskelijat tekivät vähemmän käsitteellisiä virheitä kuin perinteisen mallin opiskelijat.