A multi-element non-intrusive Polynomial Chaos method using agglomerative clustering based on the derivatives to study irregular and discontinuous Quantities of Interest

A non-intrusive method to get a multi-element polynomial chaos model is developed. This method is called ME-ACD, for Multi-Element based on Agglomerative Clustering on Derivatives. It aims at approximating a Quantity of Interest which presents discontinuities or irregularities making it difficult to be accurately approximated by standard Polynomial Chaos models. The method permits to efficiently split the parameter space and to train local polynomial models of lower degrees on every element where the local pieces of the Quantity of Interest are smoother. The algorithm is based on agglomerative clustering of the observations in a well-chosen abstract space taking into account the value of the Quantity of Interest and of its derivatives with respect to the stochastic input parameters. The same observations are used for both partitioning the space and training the local models. Several partitions of the parameter space are tested, and the one leading to local models minimizing a crossvalidation error is selected. Once the training observations are labelled with a class number indicating the element they are located in, a neural network classifier is trained to determine which local model to use for further evaluations. The method has proven to efficiently split the parameter space for a set of applications and the piecewise chaos model is compared with a standard Polynomial Chaos non-intrusive method and a Gradient Tree Boosting in terms of accuracy.; Une méthode non-intrusive ayant pour but d’obtenir un modèle par chaos polynomial multi-élément est développée. La méthode se nomme ME-ACD, acronyme Anglais signifiant « méthode multi-élément basée sur la classification hiérarchique ascendante des dérivées ». Le modèle a pour objectif d’approcher les Quantités d’intérêt présentant des discontinuités et/ou des irrégularités altérant la précision des modèles par chaos polynomial standards qui l’approchent. La méthode permet de partitionner efficacement l’espace des paramètres et d’entrainer des méta-modèles par chaos polynomial locaux de degrés inférieurs sur chaque sous-ensemble de l’espace des paramètres où les morceaux de la Quantité d’intérêt est plus régulière localement. L’algorithme repose sur le regroupement hiérarchique ascendant des observations représentées par des points dans un espace abstrait prenant en compte la valeur de la Quantité ainsi que les valeurs de ses dérivées par rapport aux paramètres d’entrée stochastiques. Les mêmes observations sont utilisées pour la partition de l’espace et pour l’entrainement des modèles locaux. Plusieurs partitions de l’espace sont testées, et celle menant à des modèles locaux minimisant une erreur de validation croisée est sélectionnée. Une fois que les observations d’entrainement sont associées à un numéro indiquant dans quel élément elles sont localisées, un réseau de neurones est entrainé pour déterminer quel modèle local sera utilisé pour les évaluations à venir. L’efficacité de la méthode est montrée sur un ensemble d’applications et la précision du modèle par morceaux est comparée avec celle d’un modèle par chaos polynomial standard obtenu par une méthode non-intrusive et celle d’un modèle « Gradient Tree Boosting ».