Etude mathématique et numérique d'un système de Gross-Clark-Schrödinger

This thesis deals with the study of a Gross-Clark-Schrödinger system which models the motion of an impurity in a Bose condensate. We have first shown that the Cauchy problem for this system is globally well posed in the associated energy space. The approach used is quite classical and is based on Strichartz type estimates and on a fixed point theorem. In a second step, we are interested in the travelling waves of this system. These special solutions have been studied since 1974 by physicists using formal asymptotic developments and some numerical simulations. In one dimension space the existence of these solutions and some properties have been rigorously established in 2006. Despite several attempts, there is no rigorous proof in the literature of the existence of travelling waves in dimension greater than or equal to two. We have used several approaches to show the existence, based on ideas and tools recently developed in Calculus of Variations. One of them consists in minimizing the energy associated to the system under two constraints, at constant mass and constant momentum. We have shown that minimizing travelling waves exist for any pair (moment, mass) that verifies a strict subadditivity condition of the minimal energy as a function of two variables. In parallel, we have performed numerical simulations that have well highlighted the travelling waves in the cases that correspond to the physical applications, we have obtained their profiles and we have calculated their energy levels. We have also studied other types of special solutions, including zero-momentum ground states and bubble-vortex solutions.; Cette thèse porte sur l'étude d'un système de Gross-Clark-Schrödinger qui modélise le mouvement d'une impureté dans un condensat de Bose. Nous avons d'abord montré que le problème de Cauchy pour ce système est globalement bien posé dans l'espace d'énergie associé. L'approche utilisée est assez classique et est basée sur des estimations de type Strichartz ainsi que sur l'utilisation d'un théorème de point fixe. Dans un second temps nous nous sommes intéressés aux ondes progressives de ce système. Ces solutions spéciales ont été étudiées dès 1974 par des physiciens à l'aide des développements asymptotiques formels et de quelques simulations numériques. En dimension un d'espace l'existence de ces solutions et quelques propriétés ont été établies rigoureusement en 2006. Malgré plusieurs tentatives, il n'existe dans la littérature aucune preuve rigoureuse de l'existence des ondes progressives en dimension supérieure ou égale à deux. Nous avons utilisé plusieurs approches pour montrer l'existence, basées sur des idées et des outils récemment développés en Calcul des Variations. Une d'elles consiste à minimiser l'énergie associée au système sous deux contraintes, à masse constante et à moment constant. Nous avons montré que les ondes progressives minimisantes existent pour tout couple (moment, masse) qui vérifie une condition de stricte sous-additivité de l'énergie minimale comme fonction de deux variables. En parallèle, nous avons effectué des simulations numériques qui ont bien mis en évidence les ondes progressives dans les cas qui correspondent aux applications physiques, nous avons obtenu leurs profils et nous avons calculé leurs niveaux d'énergie. Nous avons étudié également d'autres types de solutions spéciales, notamment les états fondamentaux de moment nul et les solutions de type bulle-vortex.