Formalization of context-free language theory

CAPEs Proof assistants are software-based tools that are used in the mechanization of proof construction and validation in mathematics and computer science, and also in certified program development. Different such tools are being increasingly used in order to accelerate and simplify proof checking, and the Coq proof assistant is one of the most known and used. Language and automata theory is a well-established area of mathematics, relevant to computer science foundations and information technology. In particular, context-free language theory is of fundamental importance in the analysis, design and implementation of computer programming languages. This work describes a formalization effort, using the Coq proof assistant, of fundamental results of the classical theory of context-free grammars and languages. These include closure properties (union, concatenation and Kleene star), grammar simplification (elimination of useless symbols, inaccessible symbols, empty rules and unit rules), the existence of a Chomsky Normal Form for context-free grammars and the Pumping Lemma for context-free languages. To achieve this, several steps had to be fulfilled, including (i) understanding of the characteristics, importance and benefits of mathematical formalization, specially in computer science, (ii) familiarization with the underlying mathematical theories used in proof assistants, (iii) familiarization with the Coq proof assistant, (iv) review of the strategies used in the informal proofs of the main results of the context-free language theory and finally (iv) selection and adequation of the representation and proof strategies adopted in order the achieve the desired objectives. The result is an important set of libraries covering the main results of context-free language theory, with more than 500 lemmas and theorems fully proved and checked. This is probably the most comprehensive formalization of the classical context-free language theory in the Coq proof assistant done to the present date, and includes the remarkable result that is the formalization of the Pumping Lemma for context-free languages. The perspectives for the further development of this work are diverse and can be grouped in three different areas: inclusion of new devices and results, code extraction and general enhancements of its libraries. Assistentes de prova são ferramentas de software que são usadas na mecanização da construção e da validação de provas na matemática e na ciência da computação, e também no desenvolvimento de programas certificados. Diferentes ferramentas estão sendo usadas de forma cada vez mais frequente para acelerar e simplificar a verificação de provas, e o assistente de provas Coq é uma das mais conhecidas e utilizadas. A teoria de linguagens e de autômatos é uma área bem estabelecida da matemática, com relevância para os fundamentos da ciência da computação e a tecnologia da informação. Em particular, a teoria das linguagens livres de contexto é de fundamental importância na análise, no projeto e na implementação de linguagens de programação de computadores. Este trabalho descreve um esforço de formalização, usando o assistente de provas Coq, de resultados fundamentais da teoria clássica das gramáticas e linguagens livres de contexto. Estes incluem propriedades de fechamento (união, concatenação e estrela de Kleene), simplificação gramatical (eliminação de símbolos inúteis, de símbolos inacessíveis, de regras vazias e de regras unitárias), a existência da Forma Normal de Chomsky para gramáticas livres de contexto e o Lema do Bombeamento para linguagens livres de contexto. Para alcançar estes resultados, diversas etapas precisaram ser cumpridas, incluindo (i) o entendimento das características, da importância e dos benefícios da formalização matemática, especialmente na ciência da computação, (ii) a familiarização com as teorias matemáticas fundamentais utilizadas pelos assistentes de provas, (iii) a familiarização com o assistente de provas Coq, (iv) a revisão das estratégias usadas nas provas informais dos principais resultados da teoria das linguagens livres de contexto e, finalmente, (v) a seleção e adequação das estratégias de representação e prova adotadas para permitir o alcance dos resultados pretendidos. O resultado é um importante conjunto de bibliotecas cobrindo os principais resultados da teoria das linguagens livres de contexto, com mais de 500 lemas e teoremas totalmente provados e verificados. Esta é provavelmente a formalização mais abrangente da teoria clássica das linguagens livres de contexto jamais feita no assistente de provas Coq, e inclui o importante resultado que é a formalização do Lema do Bombeamento para linguagens livres de contexto. As perspectivas para novos desenvolvimentos a partir deste trabalho são diversas e podem ser agrupadas em três áreas diferentes: inclusão de novos dispositivos e resultados, extração de código e aprimoramentos gerais das suas bibliotecas.