Análise numérica de métodos de elementos finitos para a equação da onda no domínio da frequência

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For high wave numbers (high frequencies) the associated differential operator becomes indefinite thus compromising the stability of the approximations by Galerkin’s finite element or finite difference methods. As analyzed by Ihlenburg and Babuska(IHLENBURG; BABUSKA, 1995), the finite element method with linear approximations present adequate asymptotic behavior, with optimal convergence rate, only for extremely refined meshes, which obey the condition κ 2h ≤ 1, which makes this approximation unfeasible for real problems with high numbers of waves κ. Estimates of the asymptotic error, respecting the restriction κ 2h ≤ 1, have been obtained for classical approximations via the Galerkin method. Fundamental results were also obtained for κh ≤ 1, referred to as pre-asymptotic behavior. As alternatives to the continuous Galerkin method, we study the behavior of the quasi optimal weight functions of the QOPG method developed by Loula and Fernandes (LOULA; FERNANDES, 2009) that are responsible for better stability properties, precision and robustness to distortions of meshes, and offer stabilized hybrid finite element formulations. Lagrange multipliers have been introduced to impose weakly continuity in the interfaces of the elements giving rise to a global system that involves only a degree of freedom associated with the multipliers. Knowing the multipliers, the variables of interest are obtained through local problems that are solved at the element level. Different choices for multipliers are evaluated. Through stabilization techniques are generated hybrid finite element methods with great flexibility in the choice of approach spaces. Allowing, for example, the use of approximations of the same order for all variables (speed, pressure and multiplier) in meshes of triangles and quadrilaterals. To validate the formulations are carried out various numerical experiments that illustrate the flexibility and robustness of the proposed formulations and some show optimal convergence rates in uniform and non-uniform meshes. Assuming that Lagrange multipliers are accurate, we present the local numerical analysis of two of the methods developed. Showing that they preserve properties such as consistency, stability and optimal convergence rates in the norm L2 É um grande desafio o desenvolvimento de métodos numéricos robustos e computacionalmente eficientes para ondas harmônicas no tempo, governadas pela equação de Helmholtz com números de ondas elevados. A qualidade da solução numérica depende do número de ondas κ. Para números de ondas elevados(altas frequências), o operador diferencial associado torna-se indefinido, comprometendo assim a estabilidade das aproximações por métodos de elementos finitos de Galerkin ou de diferenças finitas. Conforme analisado por Ihlenburg e Babuska (IHLENBURG; BABUSKA, 1995), o método dos elementos finitos com aproximações lineares apresenta comportamento assintótico adequado, com taxa de convergência ótima, apenas para malhas extremamente refinadas, que obedecem à condição κ 2h ≤ 1, o que inviabiliza esta aproximação para problemas reais com alto número de onda κ. As estimativas do erro assintótico, respeitando a restrição κ 2h ≤ 1, foram obtidas para aproximações clássicas pelo método de Galerkin contínuo. Resultados fundamentais também foram obtidos para κh ≤ 1, conhecido como comportamento pré-assintótico. Como alternativas ao método de Galerkin contínuo, estudamos o comportamento das funções peso quase ótimas do método QOPG desenvolvido por Loula e Fernandes(LOULA; FERNANDES, 2009) que são responsáveis por melhores propriedades de estabilidade, precisão e robustez a distorções de malhas, e propomos formulações de elementos finitos híbridos estabilizados. Multiplicadores de Lagrange são introduzidos para impor fracamente a continuidade nas interfaces dos elementos dando origem a um sistema global que envolve apenas graus de liberdade associados aos multiplicadores. Conhecidos os multiplicadores, as variáveis de interesse são obtidas através dos problemas locais que são resolvidos no nível de elemento. Diferentes escolhas para os multiplicadores são avaliadas. Através de técnicas de estabilização são gerados métodos de elementos finitos híbridos com grande flexibilidade na escolha dos espaços de aproximação. Permitindo, por exemplo, o uso de aproximações de mesma ordem para todas as variáveis (velocidade, pressão e multiplicador) em malhas de triângulos e quadriláteros. Para validar as formulações são realizados vários experimentos numéricos que ilustram a flexibilidade e a robustez das formulações propostas e algumas mostram taxas ótimas de convergência em malhas uniformes e não uniformes. Assumindo que os multiplicadores de Lagrange são exatos, apresentamos a análise numérica local de dois dos métodos desenvolvidos. Mostrando que preservam propriedades como consistência, estabilidade e taxas ótimas de convergência na norma L2