Вполне транзитивные, транзитивные абелевы группы и некоторые их обобщения

При исследовании абелевых групп большое значение имеет свойство гомоморфизмов, отображающих подгруппы данной группы в саму группу, продолжаться до эндоморфизма всей группы. Так, например, (вполне) транзитивные группы без кручения можно определить как группы, в которых все (гомоморфизмы) сохраняющие высоты элементов гомоморфизмы из любой сервантной подгруппы ранга 1 в саму группу продолжаются до (эндоморфизмов) автоморфизмов всей гуппы. Приведены некоторые эквивалентные условия выполнимости свойств для группы быть (вполне) транзитивной, эн-дотранзитивной или слабо транзитивной. Рассмотрены связи между этими понятиями. Известно, что прямое слагаемое вполне транзитивной группы будет вполне транзитивной группой. Существуют транзитивные р-группы, которые имеют нетранзитивное прямое слагаемое. В то же время остаётся открытым вопрос: «Замкнут ли класс транзитивных групп без кручения относительно взятия прямых слагаемых?» Предлагаются некоторые необходимые и достаточные условия, при которых прямое слагаемое произвольной транзитивной группы будет транзитивной группой. Хорошо известен критерий Корнера о (вполне) транзитивности редуцированной р-группы. Ниже данный результат обобщается на произвольные редуцированные абелевы группы.
In the study of Abelian groups, the fact that homomorphisms mapping subgroups of a group into this group can be extended to an endomorphism of the whole group is an important property of homomorphisms. For example, (fully) transitive torsion-free groups can be defined as groups in which all (homomorphisms) height-preserving homomorphisms from any pure rank 1 subgroup into this group are extended to (endomorphisms) automorphisms of the group. In this paper, some equivalent feasibility conditions for a group to be (fully) transitive, endo transitive, or weakly transitive are given. Relations between these notions are also shown. It is easy to show that a direct summand of a fully transitive group is a fully transitive group. There exist transitive p-groups which have a nontransitive direct summand. At the same time, the question whether the class of torsion free transitive groups is closed with respect to taking direct summands remains open. In this paper, some necessary and sufficient conditions under which a direct summand of an arbitrary transitive group is a transitive group are proposed. There is a well-known Corner's criterion on (full) transitivity of a reduced p-group. Below, this result is generalized to arbitrary reduced Abelian groups.