Stochastic Equivalence of Gaussian Process to the Wiener Process, Brownian Bridge, Ornstein—Uhlenbeck Process

Проблематика. Розглядається гауссівський процес з нульовим математичним сподіванням і коваріаційною функцією R(s,t)=u(s)v(t),s≤t. Для такого процесу знайдено представлення через еквівалентний вінерівський процес (перетворення Дуба). Ми розглядаємо представлення гауссівського процесу через вінерівський процес, броунівський міст і процес Орнштейна–Уленбека у випадку монотонної функції u(t)/v(t). Мета дослідження. Знаходження критерію еквівалентності гауссівського процесу вінерівському і формулювання аналогічних критеріїв для броунівського моста і процесу Орнштейна–Уленбека. Методика реалізації. Побудовано систему функціональних рівнянь на основі властивостей гауссівських процесів. Результати дослідження. Знайдено представлення гауссівського процесу з коваріаційною функцією R(s, t) через вінерівский процес, броунівський міст, процес Орнштейна–Уленбека. Результати сформульовані у вигляді критерію. Розглянуто випадки монотонно спадної і монотонно зростаючої функції u(t)/v(t). Висновки. Одержані результати можна використовувати для дослідження функціоналів від гауссівських процесів, наприклад для знаходження ймовірності перетину гауссівським процесом певного рівня. Представлення звуження поля Ченцова на ламану через вінерівський процес дало змогу знайти точний розподіл максимуму поля Ченцова по ламаних. Background. We consider the Gaussian process with zero expectation and following covariance function: R(s,t)=u(s)v(t),s≤t. It was found the representation of the equivalent Wiener process for such process (Doob’s Transformation Theorem). We consider the representation of the Gaussian process via Wiener process, Brownian bridge and Ornstein–Uhlenbeck process in the case of monotonous function Objective. The purpose of this paper is to find the criteria of equivalence between Gaussian process and Wiener process and to formulate similar criteria for Brownian bridge and Ornstein–Uhlenbeck process. Methods. We constructed the system of the functional equations based on properties of Gaussian processes. Results. Representation of Gaussian process with covariance function R(s, t) to equivalent Wiener process, Brownian bridge, Ornstein–Uhlenbeck process is discovered. Results are formulated in the form of criterion. Cases of decreasing and strictly increasing function u(t)/v(t) are considered. Conclusions. The received outcomes can be used for research of functionals of the Gaussian processes. For example, to find the probability that Gaussian process crossing certain level. Representation of restriction of the Chentsov random field on polygonal line to equivalent Wiener process allowed finding the exact distribution of the maximum of the Chentsov random field on polygonal lines. Проблематика. В работе рассмотрен гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией R(s,t)=u(s)v(t),s≤t. Для такого процесса найдено представление через эквивалентный винеровский процесс (преоб­разование Дуба). Мы рассматриваем представление гауссовского процесса через винеровский процесс, броуновский мост и процесс Орнштейна–Уленбека в случае монотонной функции. Цель исследования. Нахождение критерия эквивалентности гауссовского процесса винеровскому и формулирование аналогичных критериев для броуновского моста и процесса Орнштейна–Уленбека. Методика реализации. Построена система функциональных уравнений на основе свойств гауссовских процессов. Результаты исследования. Найдено представление гауссовского процесса с ковариационной функцией R(s, t) через винеровский процесс, броуновский мост, процесс Орнштейна–Уленбека. Результаты сформулированы в виде критерия. Рассмотрены случаи монотонно убывающей и монотонно возрастающей функции u(t)/v(t). Выводы. Полученные результаты можно использовать для исследования функционалов от гауссовских процессов, например для нахождения вероятности пересечения гауссовским процессом определенного уровня. Представление сужение поля Ченцова на ломаную через винеровский процесс позволило найти точное распределение максимума поля Ченцова по ломаных.