Contribution à la résolution des équations de la magnétohydrodynamique et de la magnétostatique

Interaction between a plasma and a magnetic field appears and has an important role in various domains such as thermonuclear fusion by magnetic confinement or astrophysical plasmas for example. In evolution, these interactions are described by the equations of magnetohydrodynamics (MHD). At equilibrium, the MHD equations reduce to the magnetostatic equations involving the magnetic field and the kinetic pressure of the plasma. The magnetostatic equations form a system of 3D non linear partial differential equations involving a magnetic field and a kinetic plasma pressure. When the pressure is supposed negligible, the magnetic field is known as Beltrami field. In a first time, we propose to solve numerically the Beltrami fields problem using a fixed point iterative algorithm associated with finite element methods. This iterative strategy is extended in a second time to the computation of magnetostatic configurations with pressure.In the sequel, we interest in the approximation of ideal MHD equations. This system forms a nonlinear hyperbolic conservation law. We propose to use a finite volume approach, in which fluxes are calculated by a Roe's method on a tetrahedral mesh. Fluxes of the magnetic field are modified in order to satisfy the constraint of divergence free imposed on it.The proposed methods have been implemented in two new three dimensional codes called TETRAFFF for equilibrium, and TETRAMHD for MHD. The obtained numerical results confirm the high performance of these methods.; L'étude des interactions entre un plasma et un champ magnétique joue un rôle important dans différents domaines tels que la fusion thermonucléaire par confinement magnétique, les plasmas astrophysiques. En évolution, ces interactions sont décrites par les équations de la magnétohydrodynamique (MHD). A l'équilibre, les équations de la MHD se réduisent à celles de la magnétostatique.Les équations de la magnétostatique forment un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires en dimension 3 faisant intervenir le champ magnétique et la pression cinétique du plasma. Quand on néglige la pression, le champ magnétique est alors dit de Beltrami. Nous proposons de résoudre numériquement les équations régissant les champs de Beltrami par un algorithme itératif de type point fixe associé à des méthodes d'éléments finis. Cette stratégie itérative est étendue au cas des configurations d'équilibres avec pression.On s'intéresse ensuite à l'approximation des équations de la MHD idéale instationnaires. Il s'agit d'un système de loi de conservation hyperbolique non linéaire. Nous proposons une approche de type volumes finis dans laquelle les flux sont calculés par une méthode de Roe sur un maillage tétraédrique et où les flux du champ magnétique sont modifiés afin de satisfaire la contrainte de divergence nulle qui lui est imposée. Les méthodes proposées ont été implantées dans deux nouveaux codes tridimensionnels TETRAFFF pour les équilibres, et TETRAMHD pour la MHD. Les résulats numériques obtenus par ces codes montrent la performance des méthodes employées.