Modélisation mathématique des spring magnets

This thesis is dedicated to the study of nanocomposite materials, which are the most promising and active approach to making the best permanent magnets today. This type of magnet is called a spring magnet.Mathematically speaking, the study of these materials is difficult.because the usual models are non-linear and the material dependence ofthe parameters vary on a very small scale. Thus, solving the magnetic models for these magnets directly is impractical, as the small dimensions of the materials would increase the number of cells in the mesh prohibitively. A more practical way is to derive a macroscopic model using homogenization techniques, which refers to a set of averaging methods in partial differential equations. In other words, homogenization searchs for effective parameters (also called homogenized, or macroscopic) to describe disordered or highly heterogeneous media.The thesis consists of four chapters, the first of which introduces the framework of our study, and the next three are largely independent. In the second chapter, we study the stochastic homogenization of the Landau-Lifschitz-Gilbert equation, which describes the temporal evolution of magnetization in a ferromagnetic continuum, in order to obtain a homogeneous model for spring magnets, from a heterogeneous model. Once this homogeneous model has been identified, we study in the third chapter the behaviour of a homogeneous, but not uniform permanent magnet, by solving an eigenvalue problem. Finally, the fourth chapter deals with the numerical calculation of homogenized coefficients, which requires the resolution of a partial differential equation. We explore in this chapter a method using finite elements, as well as multi-grid methods.; Cette thèse est consacrée à l'étude de matériaux nanocomposites, qui sont l'approche la plus prometteuse et la plus active pour fabriquer les meilleurs aimants permanents actuellement. Ce type d'aimant est appelé spring magnet.Mathématiquement parlant, l'étude de ces matériaux est difficilecar les modèles habituels sont non linéaires et la dépendance matérielle deles paramètres varient à une très petite échelle. Ainsi, résoudre directement les modèles magnétiques pour ces aimants est irréalisable, car les faibles dimensions des matériaux augmenteraient le nombre de cellules dans le maillage de manière prohibitive. Un moyen plus pratique est de dériver un modèle macroscopique en utilisant des techniques d'homogénéisation, ce qui désigné un ensemble de méthodes de moyennisation dans les équations aux dérivées partielles. En d'autres termes, l'homogénéisation cherche des paramètres effectifs (aussi appelés homogénéisés, ou macroscopiques) pour décrire des milieux désordonnés ou très hétérogènes.La thèse consiste en quatre chapitres, dont le premier introduit le cadre de notre étude, et les trois suivants sont en grande partie indépendants. Nous étudions dans le second chapitre l'homogénéisation stochastique de l'équation de Landau-Lifschitz-Gilbert, qui décrit l'évolution temporelle de l'aimantation dans un continuum ferromagnétique, afin d'obtenir un modèle homogène pour les spring magnets, à partir d'un modèle hétérogène. Une fois ce modèle homogène identifié, nous étudions dans le troisième chapitre le comportement d'un aimant permanent homogène, mais non uniforme, via la résolution d'un problème aux valeurs propres. Enfin, le quatrième chapitre s'intéresse au calcul numérique des coefficients homogénéisés, qui nécessite la résolution d'une équation aux dérivées partielles. Nous explorons dans ce chapitre une méthode utilisant des éléments finis, ainsi que des méthodes multi-grilles.