Dynamics of two agents in the generalized Kuramoto Model

RESUMEN: El modelo de Kuramoto, propuesto en 1975, es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que describe un conjunto de osciladores de fase. Es capaz de emular fenómenos de autoorganización y es similar en varios aspectos al modelo XY de la Mecánica Estadística. Recientemente, en un artículo publicado por Chandra, Girvan y Ott[1] se ha propuesto una generalización del modelo de Kuramoto, en el que los agentes son representados por vectores D-dimensionales unitarios. En el artículo mencionado se estudian las transiciones de fase del modelo para un D arbitrario cuando el número de agentes N tiende a in finito (límite termodinámico). En este trabajo hemos querido estudiar el comportamiento del modelo cuando el número de agentes es bajo. La presencia de bifurcaciones, la relevancia de nuevos parámetros o fenómenos de histéresis, ya en casos muy simples del modelo, nos han llevado a centrarnos en un caso específico: se han estudiado los tipos de solución y las bifurcaciones en el modelo de Kuramoto generalizado, considerando dos agentes con D = 3. En el primer capítulo se expone el modelo de Kuramoto y su versión generalizada. En el segundo capítulo se exponen técnicas y fundamentos de la dinámica no lineal. En el tercer capítulo se exponen los resultados del TFG y en el cuarto las conclusiones de los mismos. Por último, el trabajo tiene un apéndice en el que se exponen las piezas clave del código. ABSTRACT: The Kuramoto model, proposed in 1975, is a set of ordinary differential equations that describe a group of phase oscillators. It is capable of emulating self-organization phenomena and it is similar in several ways to the XY model of Mechanical Statistics. Recently, in an article written by Chandra, Girvan and Ott[1] a generalized Kuramoto model has been proposed, in which the agents are represented by D-dimensional unitary vectors. In the mentioned paper the model is studied when the number of agents N tends to infinity (the thermodynamic limit). In this work we have decided to study the behaviour of the model when the number of agents is low. The presence of bifurcations, the relevance of new parameters and the hysteresis phenomena, already present in simple scenarios of the model, have led us to focus on a specific case: we have studied the solution types and bifurcations in the generalized Kuramoto model considering two agents with D = 3. In the first chapter we expose the Kuramoto model and its generalized version. In the second chapter we expose the required techniques and basics of Nonlinear Dynamics. In the third chapter we expose the results of this Degree's Final Work and in the fourth the conclusions of it. Lastly, the work includes an appendix in which the key parts of the code are presented. Grado en Física