Dihedraalinen ryhmä

Tutkielmassa tutustutaan dihedraaliseen ryhmään kahdella eri tavalla lähestyen. Luvussa kolme edetään dihedraaliseen ryhmään säännöllisten monikulmioiden symmetrioiden kautta. Luvussa neljä dihedraalinen ryhmä määritellään ryhmänä, jonka alkiot toteuttavat tiettyjä ominaisuuksia ja jonka kertaluku on 2n. Tutkielman päälähteinä ovat teokset J. J. Rotman: A First Course in Abstract Algebra ja R. A. Dean: Elements of Abstract Algebra. Tutkielman alussa esitellään ryhmiin liittyviä määritelmiä, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Ensimmäisessä luvussa esitellään binäärinen operaatio, joka on kuvaus, joka kuvaa kahta lähtöjoukon alkiota siten, että lopputulos on myös kyseisen joukon alkio. Binäärinen operaatio voi olla kommutatiivinen eli vaihdannainen ja assosiatiivinen eli liitännäinen. Luvussa kerrataan ryhmän ja aliryhmän määritelmät, sekä ryhmien ominaisuuksia. Ei-tyhjä joukko varustettuna binäärisellä operaatiolla muodostaa ryhmän, mikäli operaatio on assosiatiivinen kyseisessä joukossa ja joukosta löytyy neutraalialkio sekä jokaisella joukon alkiolla on olemassa käänteisalkio kyseisessä joukossa. Jos ryhmällä on ei-tyhjä osajoukko, joka on myös ryhmä, sitä sanotaan aliryhmäksi. Luvussa esiteltyä aliryhmäkriteeriä käytetään useammassa todistuksessa myöhemmin tutkielmassa. Luvussa esitellään myös ryhmien rakenneyhtäläisyyteen eli isomorfisuuteen liittyviä määritelmiä. Ryhmät ovat isomorfisia, mikäli ryhmien välillä on olemassa bijektiivinen homomorfismi. Toisessa luvussa esitellään permutaatioihin liittyviä määritelmiä ja merkintöjä. Permutaatio on bijektiivinen kuvaus tietyn joukon suhteen. Joukon kaikkien permutaatioiden joukkoa varustettuna kuvausten yhdistämisoperaatiolla sanotaan permutaatioryhmäksi. Permutaatioryhmää, joka sisältää kaikki jotain n:n alkion joukkoa permutoivat permutaatiot, sanotaan astetta n olevaksi symmetriseksi ryhmäksi. Luvun lopussa esitellään symmetrinen ryhmä astetta kolme, johon palataan myöhemmin tutkielmassa. Luvussa kolme edetään symmetrioiden kautta symmetriaryhmään. Siirrot ovat bijektiivisiä kuvauksia, jotka säilyttävät etäisyyden. Tällöin kaikkien tason pisteiden välinen etäisyys säilyy muuttumattomana vaikka pisteiden paikka muuttuisikin. Tietyn monikulmion symmetriaryhmä koostuu kaikista niistä siirroista, jotka säilyttävät tämän tasossa olevan monikulmion. Tällaisia monikulmion säilyttäviä siirtoja kutsutaan monikulmion symmetrioiksi. Symmetriaryhmää havainnollistetaan tutkielmassa esimerkein. Luvun lopussa esitellään ensimmäisen kerran dihedraalinen ryhmä, joka on symmetriaryhmä säännölliselle monikulmiolle. Säännöllisten monikulmioiden symmetrioita havainnollistetaan usealla esimerkillä. Luvun neljä alussa määritellään kaksi siirtoa säännölliselle monikulmiolle. Näille siirroille esitellään muutamia tärkeitä ominaisuuksia. Tämän jälkeen luvussa esitellään ryhmä, jonka alkioilla on tietynlaisia ominaisuuksia. Ryhmästä löytyy alkio r, joka korotettuna potenssiin n antaa neutraalialkion sekä alkio a, joka korotettuna potenssiin kaksi antaa myös neutraalialkion. Kummallakaan alkiolla alemmat potenssit eivät tuota neutraalialkiota. Lisäksi näiden alkioiden välillä on seuraavanlainen yhteys: r kerrottuna alkiolla a on yhtä suuri kuin a kerrottuna alkion r käänteisalkiolla. Kumpikaan alkio ei ole neutraalialkio. Näin saadaan joukko, jonka alkiot muodostuvat alkioiden r ja a potenssien tuloista ja vain tässä järjestyksessä. Joukon kertaluku on 2n ja sen alkiot toteuttavat aiemmin esitellyt ominaisuudet. Kyseinen joukko varustettuna kertolaskuoperaatiolla on dihedraalinen ryhmä. Tutkielman lopussa esitetään yhteys dihedraalisen ryhmän, symmetriaryhmän ja symmetrisen ryhmän välillä.