Topologically protected states in the Lieb lattice

In this thesis, we study the di erent types of boundary modes found in Lieb-type tight-binding Hamiltonians (of chains, ribbons and square clusters) that are strongly dependent on the symmetries present in the lattice. A new topological description is developed, with the aim of predicting the behaviour of these edge states. Due to the unconventional symmetry features of the Lieb unit cell, a generalization of the Zak's phase invariant and the chiral pairing operation is realized and implemented to sustain our topological characterization. Our analysis reveals that, while a large set of boundary states have a common well de ned topological phase transition, other edge states re ect a topological non-trivial phase for any nite value of the hopping parameters and are responsible for the appearance of corner states in the two dimensional Lieb rotated square lattice when reaching a higher symmetry class. The introduction of symmetry preserving local onsite potentials in these Lieb-type systems lifts the "degeneracy" of the topological transition point, inducing a "cascade" of topological transitions. This feature is enhanced with increasing lattice spatial dimensions. A presente dissertação tem como objetivo estudar os diferentes estados de fronteira existentes em Hamiltonianos de tight-binding de sistemas baseados na rede de Lieb, com grande dependência na simetria do sistema. No decurso da tese, uma descrição topológica é desenvolvida com o propósito de prever o comportamento destes estados fronteira. Devido às características pouco convencionais de simetria na célula unitária da rede de Lieb, foram formuladas generalizações do invariante topológico baseado na fase de Zak e da operação de emparelhamento quiral de estados, posteriormente implementadas de modo a sustentar a caracterização topológica dos sistemas estudados. A análise revela a existência de estados de fronteira com uma transição de fase topológica bem de finida e outros que refletem uma fase topológica não-trivial para qualquer escolha de parametros de salto. Estes últimos, são responsáveis pela criação de estados de canto na rede quadrada de Lieb rodada quando uma classe de simetria superior é alcançada. A partir da introdução de potenciais locais que preservam a simetria nos sistemas baseados na rede de Lieb, a "degenerescência" do ponto de transição topológica é levantada, induzindo uma "cascata" de transições topológicas. Este efeito é otimizado pelo aumento das dimensões espaciais do sistema. Mestrado em Engenharia Física