The inhomogeneous Riemann boundary - value problem with infinite index of the logarithmic order for the region limited by the infinity Dini - Lipschitz contour

Šiame darbe formuluojamas ir nagrinėjamas logaritminės eilės α≥1 kraštinis Rymano uždavinys sričiai, apribotai begaliniu Dini – Lipšico kontūru. Darbe naudojamasi Koši tipo integralo su logaritminiu tankiu asimptotika. Iš esmės skiriasi funkcijos Фα(z) ir Фα*(z). Pirmajame integrale lnαt yra analizinės funkcijos lnαz kontūrinė reikšmė ir Koši tipo integralui Фα(z) yra gauta daugianarė asimptotinė formulė. Su kanonine funkcija X(z) siejamai funkcijai Фα*(z) gautoje asimptotinėje formulėje yra tik vienas, greičiausiai augantis narys, kai z→∞. Šios informacijos apie Фα*(z) kitimą nepakanka, nagrinėjant nehomogeninį uždavinį. Todėl buvo būtina panaudoti Dini – Lipšico kontūrą. Tik pareikalavus, kad L΄ būtų eilės q>α Dini – Lipšico kontūras, įrodyta, kad funkcija ηα(t) yra tolydi ir aprėžta kontūro L΄ taškuose, o sveikosios funkcijos F0(z) nuliai išdėstyti ant realiosios ašies neigiamos pusašės. Esant tokiam kontūrui, pavyko įrodyti, jog atskirasis nehomogeninio uždavinio sprendinys yra aprėžtas. Gautas suformuluoto uždavinio bendrasis sprendinys aprėžtų funkcijų klasėje BL. In this work is formulated and studied boundary Riemann problem of logarithmic order α≥1 for the space bounded by the infinite Dini – Lipschitz contour. In this paper is used asymptotics of Cauchy type integrals with a logarithmic density. Basically differ functions Фα(z) and Фα*(z). In the first integral lnαt is contour value of the analytical function lnαz and for Cauchy-type integral Фα(z) is obtained polynomial asymptotic formula. Function Фα*(z) associated with the canonical function X(z) obtained in asymptotic formula is the only one, the fastest growing member, when z→∞. The information about the change of the Фα*(z) is insufficient considering inhomogeneous problem. It is necessary to use the Dini – Lipschitz contour. Let L΄ be Dini – Lipschitz contour of q>α order, it is proved that the function ηα(t) is continuous and bounded in contour L΄ points, and zeros of entire function F0(z) are arranged on the negative semi-axis of the real axis. Being the before mentioned contour, it was proved that a separate inhomogeneous target solution is bounded. In this work is obtained the general solution of formulated task of bounded functions in class BL.