Multiplicative representations of surface groups

Un gruppo di superficie è (isomorfo) al gruppo fondamentale di una superficie orientabile chiusa di genere k (maggiore o uguale a 2). È uno small cancellation group e quindi iperbolico; il suo grafo di Cayley è isomorfo a una tassellatura del piano iperbolico fatta di 2k-goni iperbolici. È possibile definire alcuni sottoinsiemi del grafo di Cayley, detti “coni”, su cui il gruppo agisce con un numero finito di orbite, chiamate “cono tipi”. Una rappresentazione moltiplicativa di un gruppo di superficie è una rappresentazione unitaria definita sullo spazio di Hilbert delle funzioni moltiplicative. Una funzione moltiplicativa su un gruppo di superfici ha valori vettoriali ed è definita mediante la scelta di un insieme di parametri, chiamato “sistema di matrici”. Due funzioni moltiplicative sono equivalenti se differiscono solo su un numero finito di elementi. Si può definire un prodotto interno sulle classi di equivalenza di funzioni moltiplicative. Dimostriamo che almeno per il caso di un gruppo di superficie del genere 2 ed una scelta del sistemi di matrici il prodotto interno non è identicamente nullo; dato che esso non dipende dalla scelta dei rappresentanti per le funzioni moltiplicative, è ben definito. Questa dimostrazione si basa sull'irriducibilità di una certa matrice associata alla geometria del grafo di Cayley; in particolare, un certo autovalore Perron-Frobenius deve essere semplice. Una rappresentazione moltiplicativa agisce semplicemente per traslazione sinistra sul completamento dello spazio di Hilbert dello spazio delle funzioni moltiplicative rispetto al prodotto interno sopra menzionato. La rappresentazione così definita è temperata: mostriamo che i coefficienti di matrice della rappresentazione regolare approssimano quelli della rappresentazione moltiplicativa. Con il termine “rappresentazione sul bordo” intendiamo una rappresentazione di una certa C*-algebra prodotto incrociato, ottenuta dall'azione del gruppo di superficie sulla C*-algebra delle funzioni continue sul bordo - che è omeomorfo ad una circonferenza. Una rappresentazione sul bordo è data da una rappresentazione unitaria del gruppo e una rappresentazione della C*-algebra che soddisfi una condizione di covarianza. Definiamo una famiglia di sottospazi (indicizzata da una quantità reale) di uno spazio di funzioni di quadrato integrabile con valori vettoriali sul gruppo e agiamo su questi sottospazi per traslazione a sinistra con il gruppo e per moltiplicazione con le funzioni continue sulla compattificazione del gruppo di superficie (il gruppo unito al suo bordo). Otteniamo alcune rappresentazioni del gruppo e dell'algebra che soddisfano la covarianza e mostriamo che la famiglia ha una sottosuccessione convergente. Mostriamo quindi che l'azione della C*-algebra coinvolge solo i valori delle funzioni sul bordo: otteniamo quindi una rappresentazione sul bordo. Mostriamo, inoltre, che il limite così ottenuto non dipende dalla sottosuccessione tendente a zero. Abbiamo così una rappresentazione sul bordo ben definita. Mostriamo che la parte unitaria di questa rappresentazione sul bordo è equivalente alla rappresentazione moltiplicativa: infatti, le loro funzioni di tipo positivo coincidono. Infine, mostriamo che la rappresentazione sul bordo è irriducibile. Questo risultato si ottiene sfruttando l'unicità (a meno di prodotto per una costante positiva) dell'autovalore di Perron-Frobenius ottenuto nella dimostrazione della buona positura del prodotto interno: dimostriamo che qualsiasi proiezione che commuta sia con la rappresentazione del gruppo che con la rappresentazione dell’algebra permette di definire un autovettore della stessa matrice corrispondente all'autovalore di Perron-Frobenius. Quindi, dopo alcuni calcoli, otteniamo che la proiezione considerata deve essere banale. Da una versione del Lemma di Schur segue che la rappresentazione del prodotto incrociato è irriducibile. A surface group is (isomorphic to) the fundamental group of a closed orientable surface of genus k greater or equal than 2. It is a small cancellation group (hence hyperbolic); its Cayley graph is isomorphic to a tiling of the hyperbolic plane by 2k-gons. One can define certain subsets of the Cayley graph called cones. The group acts on the set of cones with finitely many orbits, called cone types. A multiplicative representation of a surface group is a unitary representation defined on the Hilbert space of multiplicative functions. A multiplicative function on a surface group is a vector-valued function defined through the choice of a set of parameters, called matrix system. Two multiplicative functions are equivalent if they differ only on finitely many elements. An inner product can be defined for equivalence classes of multiplicative functions. We prove that at least for the case of a surface group of genus 2 and a choice of the matrices as non-negative scalars the inner product is not identically zero; thus, since it does not depend on the representatives for the multiplicative functions, it is well posed. This proof relies on the irreducibility of a certain matrix associated with the geometry of the Cayley graph; in particular, a certain Perron-Frobenius eigenvalue must be simple. A multiplicative representation then simply acts by left translation on the Hilbert space completion of the space of multiplicative functions with respect to the inner product above mentioned. The representation thus defined is tempered: we show that the matrix coefficients of the regular representation approximate those of the multiplicative representation. By the term boundary representation, we mean a representation of a certain crossed product C*-algebra, obtained by the action of the surface group on the C*-algebra of continuous functions on its boundary – which is homeomorphic to the unit circle. Such a boundary representation is given by a unitary representation of the group and a representation of the C*-algebra satisfying a covariance condition. We define a family of subspaces (indexed by a real quantity) of a space of vector-valued square integrable functions on the group and we act on these subspaces by left translation with the group and by multiplication with continuous functions on the compactification of the surface group (the group united with its boundary). Thus, we get some representations of the group and the algebra satisfying covariance and we show that the family has a limit for a subsequence of the indexes tending to zero. We then show that the action of the C*-algebra involves only the values of the functions on the boundary. Hence, we get a boundary representation. We show, moreover, that the limit thus obtained does not depend on the subsequence tending to zero. Hence, we get a well-defined representation of the crossed product C*-algebra. We show that the unitary part of this boundary representation is equivalent to the multiplicative representation: in fact, their functions of positive type coincide. Finally, we show that the boundary representation is irreducible. This result is achieved by exploiting the uniqueness (up to scaling) of the Perron-Frobenius eigenvalue obtained in the proof of the well-posedness of the inner product: in fact, we show that any projection intertwining both the group representation and the algebra representation allows to define an eigenvector of the same matrix corresponding to the Perron-Frobenius eigenvalue. Thus, after some calculations, we get that the projection considered must be trivial. By a version of Schur’s Lemma, this yields the irreducibility of the crossed product representation.