On the surface group conjecture

In questa tesi vengono presentati alcuni risultati parziali riguardo la surface group conjecture di Melnikov. La congettura è che ogni gruppo ereditariamente ad un relatore, residualmente finito, non libero e non ciclico sia un surface group. Un surface group è un gruppo isomorfo al gruppo fondamentale di una superficie chiusa. Un surface group ammette una presentazione con una sola relazione ed ogni suo sottogruppo di indice finito è ancora un surface group e quindi un gruppo ad una sola relazione. Chiameremo gruppi ereditariamente ad un relatore quei gruppi ad un relatore con la proprietà che ogni sottogruppo di indice finito sia ancora un gruppo ad un relatore. I surface group hanno dimensione comologica 2 e sono gruppi di dualità. Baumslag ha dimostrato che i surface group sono residualmente finiti. Un primo approccio ad una soluzione del problema è di tipo combinatorico. Alcune proprietà dei gruppi ad un relatore sono determinate da proprietà della relazione. Per esempio, un gruppo ad un relatore è privo di torsione se e solo se la relazione non è una potenza. Un risultato combinatorio più utile e profondo è il Teorema di Identità di Lyndon, che si può dimostrare tramite il calcolo differenziale libero. Se un gruppo ad un relatore è non libero, privo di torsione e liberamente indecomponibile, allora è un gruppo di dualità. Inoltre il Teorema di Identità permette di determinare la struttura del modulo dualizzante. Dopo questi risultati combinatori, si procede ad analizzare i gruppi ereditariamente ad un relatore utilizzando un risultato dovuto a Bieri et al, che hanno dimostrato come i gruppi di Poincaré di dimensione due sono surface groups. Dato un gruppo di dualità ad un relatore G risulta essere un quoziente di ZG e si ha un sollevamento della mappa di augmentazione di ZG ad una mappa dal modulo dualizzante a Z se e solo se la relazione che definisce G è un commutatore. Se il nucleo K di questo sollevamento è banale allora il modulo dualizzante è isomorfo a Z e G è un surface group, per cui K può essere visto come una misura di quanto G sia lontano dall'essere un surface group. Le ipotesi della surface group conjecture hanno notevoli somiglianze ad alcune proprietà dei gruppi di Demushki, che sono gruppi pro-p ad un relatore e gruppi di dualità di Poincaré. La classificazione dei gruppi di Demushkin dovuta a Labue mostra che essi ammettono una presentazione (come pro-p gruppi) simile alla presentazione dei surface group. Si è quindi deciso di esplorare la possibilità di una relazione tra le due situazioni. Dato un gruppo G che soddisfi le ipotesi della surface group conjecture e la cui unica relazione sia un commutatore, si procede a prenderne il completamento pro-p e se ne studia la struttura. Dato che i surface group sono residualmente liberi richiediamo anche che G sia residualmente libero. Dimostriamo quindi che G è p-buono, cioé che il morfismo naturale tra G e il suo completamento induce un isomorfismo tra i rispettivi gruppi di coomologia. Usiamo questa proprietà per caratterizzare il completamento pro-p di G. Teorema. Sia G un gruppo ereditariamente ad un relatore, residualmente finito, non libero e non ciclico, la cui unica relazione sia un commutatore. Allora il completamento pro-p di G è un gruppo di Demushkin orientabile e quindi coincide con il completamento pro-p di un surface group. Utilizzando la classificazione di Labute concludiamo che G deve avere un numero pari di generatori e che la relazione non può trovarsi nel secondo gruppo derivato del gruppo libero il cui quoziente offre la presentazione ad un relatore di G. Inoltre, se G ha solo due generatori abbiamo una risposta positiva alla congettura.