Asymptotic theory of resonant tunneling in quantum waveguides of variable cross-section

Halkaisijaltaan muunnellun kvanttiaaltojohtimen kapenemat toimivat tehokkaina potentiaalivalleina elektronin pitkittäissuuntaiselle liikkeelle. Kaksi kapenemaa muodostaa kvanttiresonaattorin, jossa resonoiva tunnelointi voi tapahtua. Tämä tarkoittaa sitä, että elektronit, joiden energia on lähellä resonanssia, läpäisevät resonaattorin todennäköisyydellä lähellä yhtä.Sarafanov kuvailee väitöskirjassaan asymptoottisesti elektroniaallon etenemistä kvanttiaaltojohtimessa, jossa on kaksi kapenemaa. Aaltoluvun k oletetaan olevan ensimmäisen ja toisen kynnysluvun välissä, jolloin vain sisään tuleva ja poismenevä aalto voivat edetä jokaisessa aaltojohtimen päässä äärettömyydessä. Väitöskirjassa esitetään asymptoottiset kehitelmät aaltofunktioille, ja heijastus- ja siirtymäkertoimille, kun kapenemien halkaisijat menevät nollaan. Lisäksi Sarafanov esittää asymptoottiset kaavat resonaatiotaajuuksille ja analysoi kertoimien käyttäytymistä lähellä resonanssipistettä. Monet elektroniset laitteet, kuten transistorit ja vahvistimet voivat perustua halkaisijaltaan muunneltuihin aaltojohtimiin. Sarafanovin esittämiä kaavoja voidaan hyödyntää näiden laitteiden ja niiden optimaalisen toiminnan suunnittelussa. The narrows of a quantum waveguide with variable cross-section play the role of effective potential barriers for the electron longitudinal motion. Two narrows form a quantum resonator where a resonant tunneling can occur. It means that electrons with energy close to a resonant value pass through the resonator with probability near to 1.We give an asymptotic description of electron wave propagation in a quantum waveguide with two narrows. The wave number $k$ is assumed to be between the first and the second thresholds, so only one incoming and one outgoing wave may propagate in every outlet of the waveguide to infinity. We present the asymptotic expansions of wave functions, the reflection and transition coefficients as the diameters of narrows tend to zero. Moreover, the asymptotic formulas for the resonant frequencies are obtained and the behavior of the coefficients is analyzed near a resonance.