Operator-valued Fourier multipliers on toroidal Besov spaces

We prove in this paper that a sequence M: Zn → L(E) of bounded variation is a Fourier multiplier on the Besov space Bs p, q(Tn, E) for s ∈ R, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ 1 and E a Banach space, if and only if E is a UMD-space. This extends the Theorem 4.2 in [3] to the n-dimensional case. As illustration of the applicability of this results we study the solvability of two abstract Cauchy problems with periodic boundary conditions. Resumen En el presente artículo se prueba que una sucesión M: Zn → L(E) de variación acotada, es un multiplicador de Fourier sobre el espacio de Besov Bs p, q(Tn, E) para s ∈ R, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ 1 y E un espacio de Banach, si y solo si, E es un espacio UMD. Este resultado extiende el Teorema 4.2 en [3] al caso n-dimensional. Como ilustración de la aplicabilidad de este resultado, se estudia la solubilidad de dos problemas de Cauchy abstractos con condiciones de frontera periódicas.