Dp-minimal profinite groups and planes in sharply 2-transitiv groups

Im ersten Teil dieser Dissertation untersuchen wir unendliche dp-minimale proendliche Gruppen, welche mit einem uniform definierbaren Fundamentalsystem offener Untergruppen ausgestattet sind. Unser wichtigstes Werkzeug dabei ist ein Quantoreneliminationsresultat für eine Klasse von bewerteten abelschen Gruppen. Damit untersuchen wir auch die ganzen Zahlen und zeigen, dass jede Erweiterung der ganzen zahlen, die durch eine Kette von Untergruppen gegeben ist, dp-minimal ist. Im zweiten Teil betrachten wir scharf 2-fach transitive Gruppen von endlichem Morleyrang. Wir zeigen, dass alle scharf 2-fach transitiven Gruppen von Morleyrang 6 standard sind. Die benutzten Methoden sind geometrisch: Wenn die Punktstabilisatoren Involutionen enthalten, dann bilden die Involutionen eine Geometrie aus Punkten und Geraden. Wir fuehren den Begriff der generischen projektiven Ebene ein, welche projektive Ebenen verallgemeinern. Solche Ebenen koennen in der Geometrie nicht existieren, wuerden aber in einer nicht-standard Gruppe von Rang 6 auftreten. In the first part of this thesis, we study dp-minimal infinite profinite groups that are equipped with a uniformly definable fundamental system of open subgroups. Our main ingredient is a quantifier elimination result for a class of valued abelian groups. We also apply it to the integers and we show that if we expand the integers by any chain of subgroups, we obtain a dp-minimal structure. The second part of this thesis is about sharply 2-transitive groups of finite Morley rank. We show that sharply 2-transitive groups of Morley rank 6 are standard. Our main tool is the following: If the point-stabilizers of such a group contain involutions, then there is a point line geometry on the set of involutions. We introduce the notion of a generic projective plane, a generalization of projective planes. Generic projective planes cannot exist in the point-line geometry on the set of involutions. We then show that a non-standard sharply 2-transitive group of Morley rank 6 would allow us to construct such a generic projective plane.