Uniqueness, reconstruction, stability for some two-dimensional inverse problems

In this thesis some inverse boundary value problems in two dimensions are studied. The problems under consideration are the Calder'on problem and the Gel'fand-Calderon problem in the single and multi-channel case, i.e. matrix-valued case: the latter can be seen, in particular, as a non-overdetermined approximation of the three dimensional case. We begin with some results for the anisotropic Calderon problem: a new formulation of the uniqueness result on the plane is presented, as well as the first global uniqueness on two-dimensional surfaces with boundary. Next, we prove some new global stability estimates for the Gel'fand-Calderon problem in the single and multi-channel case. Similar techniques give also a global reconstruction procedure for the same problem in the multi-channel case. A rapidly converging approximation algorithm for the multi-channel Gel'fand-Calderon problem is presented afterwards: this is mostly inspired by results of the multi-dimensional inverse scattering theory. Finally we present new global stability estimates for the two aforementioned problems which explicitly depend on regularity and energy.
Dans cette thèse nous étudions quelques problèmes inverses de valeurs au bord en dimension deux. Les problèmes considérés sont le problème de Calderon et le problème de Gel'fand-Calderon dans le cas scalaire et multi-canal, c'est-à-dire matriciel : cela peut etre vu notamment comme une approximation non-surdéterminée du cas tridimensionnel. Nous montrons d'abord quelques résultats pour le problème de Calderon anisotrope : nous présentons une nouvelle formulation du résultat d'unicité sur le plan ainsi que le premier résultat d'unicité globale pour le cas des surfaces à bord. Après, nous démontrons une nouvelle estimation de stabilité globale pour le problème de Gel'fand-Calderon dans le cas scalaire et multi-canal. Des techniques similaires donnent aussi une procédure de reconstruction globale pour le meme problème. Nous proposons ensuite un algorithme d'approximation rapidement convergent pour le problème de Gel'fand-Calderon multi-canal : cet algorithme est principalement motivé par des résultats de la théorie de diffusion inverse multi-dimensionnelle. Comme derniers résultats nous présentons des nouvelles estimations de stabilité globale pour les deux problèmes mentionnés plus haut qui dépendent explicitement de la régularité et de l'énergie.