MULTI-FIDELITY METHODS FOR UNCERTAINTY PROPAGATION IN KINETIC EQUATIONS

The construction of efficient methods for uncertainty quantification in kinetic equations represents a challenge due to the high dimensionality of the models: often the computational costs involved become prohibitive. On the other hand, precisely because of the curse of dimensionality, the construction of simplified models capable of providing approximate solutions at a computationally reduced cost has always represented one of the main research strands in the field of kinetic equations. Approximations based on suitable closures of the moment equations or on simplified collisional models have been studied by many authors. In the context of uncertainty quantification, it is therefore natural to take advantage of such models in a multi-fidelity setting where the original kinetic equation represents the high-fidelity model, and the simplified models define the low-fidelity surrogate models. The scope of this article is to survey some recent results about multi-fidelity methods for kinetic equations that are able to accelerate the solution of the uncertainty quantification process by combining high-fidelity and low-fidelity model evaluations with particular attention to the case of compressible and incompressible hydrodynamic limits. We will focus essentially on two classes of strategies: multifidelity control variates methods and bi-fidelity stochastic collocation methods. The various approaches considered are analyzed in light of the different surrogate models used and the different numerical techniques adopted. Given the relevance of the specific choice of the surrogate model, an application-oriented approach has been chosen in the presentation.
La construction de méthodes rapides pour la quantification del’incertitude dans les équations cinétiques représente un défi en raison de lagrande dimensionnalité des modèles qui impliquent souvent des coûts de calculprohibitifs. D’autre part, précisément à cause de fléau de la dimension,la construction de modèles simplifiés capables de fournir des solutions approchéesà un coût de calcul réduit a toujours représenté l’un des principaux axesde recherche dans le domaine des équations cinétiques. Des approximationsbasées sur des fermetures appropriées des équations des moments ou sur desmodèles collisionnels simplifiés ont été étudiées par de nombreux auteurs. Dansle cadre de la quantification de l’incertitude, il est donc naturel utiliser telsmodèles dans un cadre multi-fidélité où l’équation cinétique d’origine représentele modèle haute fidélité, et les modèles simplifiés définissent les modèlesà basse fidélité. Ce travail passe en revue quelques résultats récents sur les méthodesmulti-fidélité pour les équations cinétiques qui accélèrent la résolutiondu processus de quantification des incertitudes en combinant des évaluationsde modèles haute fidélité et basse fidélité avec une attention particulière aucas des limites hydrodynamiques compressibles et incompressibles. Nous nousconcentrerons essentiellement sur deux classes de stratégies : les méthodes desvariables de contrôle multi-fidélité et les méthodes de collocation stochastiquebi-fidélité. Les différentes approches sont analysées à la lumière des différentsmodèles simplifiés utilisés et des différentes techniques numériques adoptées.Compte tenu de la pertinence du choix spécifique du modèle de substitutionsimplifié, une approche orientée aux applications a été choisie dans la présentation.