Null Controllability for Wave Equations with Memory

We study the memory-type null controllability property for wave equations involving memory terms. The goal is not only to drive the displacement and the velocity (of the considered wave) to rest at some time-instant but also to require the memory term to vanish at the same time, ensuring that the whole process reaches the equilibrium. This memory-type null controllability problem can be reduced to the classical null controllability property for a coupled PDE-ODE system. The latter can be viewed as a degenerate system of wave equations, in which the velocity of propagation for the ODE component vanishes. This fact requires the support of the control to move to ensure the memory-type null controllability to hold, under the so-called Moving Geometric Control Condition. The control result is proved by duality by means of an observability inequality which employs measurements done on a moving observation open subset of the domain where the waves propagate.
´Nousétudions le contrôle vers l'´ equilibre de l'´ equations des ondes avec mémoire. Cecí exige non seulement de contrôler le déplacement et la vitesse de l'onde considérée, mais aussi d'assurer que le terme de mémoire atteigne l'´ etat d'´ equilibrè a un instant donné. Ceprobì eme de contrôlè a zéro de type mémoire peutêtrepeutˆpeutêtre réduitréduit`réduità unprobì eme de contrôlè a zéro pour un système couplé PDE-ODE. Ce dernier peutêtrepeutˆpeutêtre considéré comme un système dégénéré d'´ equations d'ondes, pour lequel la vitesse de propagation de la composante ODE est nulle. Pour aboutir au résultat, le support du contrôle doit se déplacer le long du domaine o` u les ondes se propagent, assurant ainsi, non seulement l'absorption des rayons classiques de l'´ equation des ondes, mais aussi labsorption des rayons qui ne se propagent pas et qui sont associésassociés`associésà l'ODE. On appelle cette condition : Condition de contrôle géométrique en mouvement. Le résultat de contrôle est prouvé moyennant une inégalité d'observabilité.