Development of iterative algorithms for solving the inverse problem using inverse calculations

Iterative algorithms for solving the inverse problem, presented as a quadratic programming problem, developed by modifying algorithms based on the inverse calculation mechanism are proposed. Iterative algorithms consist in a sequential change of the argument values using iterative formulas until the function reaches the value that most corresponds to the constraint. Two solutions are considered: by determining the shortest distance to the line of the given level determined by the constraint, and by moving along the gradient. This approach was also adapted to solve more general nonlinear programming optimization problems. The solution of four problems is considered: formation of production output and storage costs, optimization of the securities portfolio and storage costs for the given volume of purchases. It is shown that the solutions obtained using iterative algorithms are consistent with the result of using classical methods (Lagrange multiplier, penalty), standard function of the MathCad package. In this case, the greatest degree of compliance was obtained using the method based on constructing the level line; the method based on moving along the gradient is more universal.The advantage of the algorithms is a simpler computer implementation of iterative formulas, the ability to get a solution in less time than known methods (for example, the penalty method, which requires multiple optimizations of a modified function with a change in the penalty parameter). The algorithms can also be used to solve other nonlinear programming problems of the presented kind.The paper can be useful for specialists when solving problems in the field of economics, as well as developing decision support systems.
Предложены итерационные алгоритмы решения обратной задачи, представленной в виде задачи квадратичного программирования, разработанные путем модификации алгоритмов, основанных на механизме обратных вычислений. Итерационные алгоритмы заключаются в последовательном изменении значений аргументов с помощью итерационных формул до достижения функцией величины, наиболее соответствующей ограничению. При этом рассмотрено два варианта решения задачи: путем определения кратчайшего расстояния до линии заданного уровня, определяемого ограничением, и путем движения вдоль градиента. Данный подход также был адаптирован для решения оптимизационных задач нелинейного программирования более общего вида. Рассмотрено решение четырех задач: формирование выпуска продукции и складских затрат, оптимизация портфеля ценных бумаг и складских затрат при заданном объеме закупок. Показано, что получаемые при использовании итерационный алгоритмов решения согласуются с результатом использования классических методов (множителей Лагранжа, штрафов), стандартной функции математического пакета MathCad. При этом наибольшая степень соответствия была получена с помощью метода на основе построения линии уровня, метод на основе движения вдоль градиента является более универсальным.Достоинством алгоритмов является более простая компьютерная реализация итерационных формул, возможность получить решение за меньшее время по сравнению с известными методами (например, методом штрафов, требующим многократной оптимизации модифицированной функции с изменением штрафного параметра). Алгоритмы могут быть также использованы для решения других задач нелинейного программирования представленного вида.Статья может быть полезна для специалистов, осуществляющих решение задач в области экономики, а также разработку программных систем поддержки принятия решений
Запропоновано ітераційні алгоритми розв'язання зворотної задачі, представленої у вигляді задачі квадратичного програмування, розроблені шляхом модифікації алгоритмів, заснованих на механізмі зворотних обчислень. Ітераційні алгоритми полягають у послідовній зміні значень аргументів за допомогою ітераційних формул до досягнення функцією величини, найбільш відповідної обмеженню. При цьому розглянуто два варіанти вирішення задачі: шляхом визначення найкоротшої відстані до лінії заданого рівня, що визначається обмеженням, і шляхом руху вздовж градієнта. Даний підхід також був адаптований для вирішення оптимізаційних завдань нелінійного програмування більш загального вигляду. Розглянуто вирішення чотирьох завдань: формування випуску продукції та складських витрат, оптимізація портфеля цінних паперів та складських витрат при заданому обсязі закупівель. Показано, що одержувані при використанні ітераційний алгоритмів рішення узгоджуються з результатом використання класичних методів (множників Лагранжа, штрафів), стандартної функції математичного пакету MathCad. При цьому найбільша ступінь відповідності була отримана за допомогою методу на основі побудови лінії рівня, метод на основі руху вздовж градієнта є більш універсальним.Перевагою алгоритмів є більш проста комп'ютерна реалізація ітераційних формул, можливість отримати рішення за менший час в порівнянні з відомими методами (наприклад, методом штрафів, що вимагає багаторазової оптимізації модифікованої функції зі зміною штрафного параметра). Алгоритми можуть бути також використані для вирішення інших завдань нелінійного програмування представленого виду.Стаття може бути корисна для фахівців, які здійснюють вирішення завдань в області економіки, а також розробку програмних систем підтримки прийняття рішень