Theoretical Approach to the Tunneling Current across an Interacting Quantum Dot: The Dressed-Second-Order Diagram Selection

The topic of this work is the theoretical description of the tunneling current across an interacting quantum dot. The quantum dot is tunnel-coupled to metallic contacts at different chemical potentials - a bias voltage is applied between the two contacts. The discrete energy levels of the quantum dot are tuned by a gate voltage. We here use the term (energy) level both as a short term for one-electron levels on the quantum dot, and for the difference of energies of many-electron states of the quantum dot with neighbouring particle-number, while we use the term chemical potential only for the contacts. Within the method we apply, the density matrix of the quantum dot, and, in a second step, the current across the quantum dot are calculated making use of a quantum master equation. The integral kernel appearing in the quantum master equation is a convergent power series in the parameter characterizing the strength of the tunneling coupling between the quantum dot and the leads, and the coefficients of each of the orders of this power series have an expansion as a sum of contributions we refer to - and actually depict - as diagrams, where each diagram represents a collection of tunneling events. In the general-theoretical part of this work, the transport theory, we shall give a derivation of the quantum master equation, and we present and explain the diagrammatic language, by the use of which we formulate tunneling processes as graphic objects. Within the present thesis we study the transport across a quantum dot according to the single impurity Anderson model (SIAM), which consists of one spin-degenerate one-electron level. The energy of the doubly occupied many-electron state includes the Coulomb-repulsion between the two electrons. The exact and complete sum of all diagrams of all orders has not been calculated, nor has the transport problem been solved exactly by another theory, but approximations are obtained by calculating the sums of all diagrams within diagram selections. In the second main part of this work, where we apply the transport theory, one particular diagram selection is discussed: the dressed-second-order (DSO) diagram selection. The DSO selection contains diagrams to all orders in the tunneling coupling; its effect is to "dress" the perturbative second order rates with a finite life time. Specifically, in the DSO-diagrams, the tunneling of a single electron from one lead to the quantum dot (or vice versa) is accompanied by spin- and charge-fluctuations. The second order alone is a natural approximation scheme to describe sequential tunneling across a single electron transistor (SET): An electron with fit energy tunnels from one lead onto the quantum dot; then, this electron tunnels from the quantum dot into a non-occupied level with fit energy of the opposite lead, which has lower chemical potential. These sequential processes are responsible for the current-voltage characteristics in the sequential tunneling regime: A maximum of the differential conductance vs. the bias at that position, where one of the contacts' chemical potentials meets the energy level of the SET - in the main chapters of this work we shall refer to the latter quantity as the energy difference between the occupied and the non-occupied many-electron states of the quantum dot - is seen by the second order. The width of this resonance, obtained by the second order, is given exclusively by the thermal energy k_B * T. However, with decreased temperature, the width of the resonance gets determined no more by the temperature, but rather by the tunneling coupling. This behaviour is covered by the DSO-diagram selection, but not by the un-dressed second order. In addition, if applied to the SIAM, and if the degenerate level of the SIAM lies below the Fermi level of the contacts, the DSO produces a resonance at zero bias which is getting more and more pronounced with decreasing temperature. We show that the DSO describes the onset of the Kondo effect in quantum dots qualitatively correctly. We compare the results of a numerical implementation of the DSO to the results of a closely related theoretical approach - the resonant tunneling approximation - as well as to the results of experiments.
Das Thema dieser Arbeit ist die theoretische Beschreibung des Tunnelstroms über einen wechselwirkenden Quantenpunkt. Der Quantenpunkt hat eine Tunnelkopplung zu metallischen Kontakten, die sich bei verschiedenen chemischen Potentialen befinden - an die Kontakte wird eine Bias-Spannung angelegt. Die diskreten Energieniveaus des Quantenpunktes werden durch eine Torspannung variiert. Wir benutzen hier den Ausdruck Niveau (oder Energieniveau) sowohl als Kurzbezeichnung für Einelektronenniveaus des Quantenpunkts als auch als Bezeichnung für die Differenz von Energien von Vielelektronenzuständen des Quantenpunkts mit benachbarter Teilchenzahl. Den Ausdruck chemisches Potential benutzen wir hingegen nur für die Kontakte. Innerhalb der Methode, die wir anwenden, wird die Dichtematrix des Quantenpunktes und - in einem zweiten Schritt - der über den Quantenpunkt fließende Strom mittels einer Quanten-Mastergleichung berechnet. Der in der Quanten-Mastergleichung aufttretende Integralkern ist eine konvergente Potenzreihe in dem Parameter, der die Stärke der Tunnelkopplung zwischen Kontakten und Quantenpunkt charakterisiert. Die Koeffizienten jeder der Ordnungen dieser Potenzreihe sind gegeben durch eine Summe von Beiträgen die wir als Diagramme bezeichnen - und tatsächlich auch als solche abbilden. Jedes Diagramm steht für eine gewisse Abfolge von Tunnelereignissen. Im allgemein-theoretischen Teil dieser Arbeit, der Transporttheorie, präsentieren wir eine Herleitung der Quanten-Mastergleichung, und wir erklären die "diagrammatische Sprache", mittels derer wir Tunnelprozesse als graphische Objekte abbilden. Innerhalb dieser Arbeit untersuchen wir den Transport über Quantenpunkte nach dem Single Impurity Anderson Model (SIAM), welche aus einem einzigen spin-entarteten Einelektronenniveau aufgebaut sind. Die Energie des doppelt besetzten Vielelektronenzustandes schließt die Coulomb-Abstoßung zwischen den beiden Elektronen ein. Die exakte und vollständige Summe aller Diagramme aller Ordnungen ist nicht berechnet worden, noch ist das Transportproblem durch eine andere Theorie exakt gelöst worden, jedoch kann man Näherungen erhalten, indem man die Summe aller Diagramme innerhalb von Diagramm-Teilmengen berechnet. Im zweiten Hauptteil dieser Arbeit, in dem wir die allgemeine Transporttheorie anwenden, diskutieren wir eine spezielle Diagramm-Teilmenge: Die Dressed-Second-Order (DSO) Diagramme. Die Diagrammmenge der DSO enthält Diagramme aller Ordnungen in der Tunnelkopplung. Durch sie werden effektiv diejenigen Tunnelraten, die wir störungstheoretisch in niedrigster Ordnung erhalten, mit einer endlichen Lebenszeit ausgestattet. Insbesondere wird in den DSO-Diagrammen das Tunneln eines einzelnen Elektrons von einem Kontakt zum Quantenpunkt (oder umgekehrt) begleitet von Spin- und Ladungsfluktuationen. Die zweite Ordnung allein ist eine natürliche Näherung für die Beschreibung des sequentiellen Tunnelns über einen Einzelelektronentransistor (SET): Ein Elektron mit passender Energie tunnelt von einem Kontakt auf den Quantenpunkt; danach tunnelt dieses Elektron vom Quantenpunkt in ein nicht-besetztes Niveau mit passender Energie auf dem anderen Kontakt, der niedrigeres chemisches Potential hat. Diese sequentiellen Tunnelprozesse sind verantwortlich für die charakeristische Beziehung zwischen Strom und Spannung im Regime des sequentiellen Tunnelns. Durch die Anwendung der zweiten Ordnung sieht man ein Maximum in der differentiellen Leitfähigkeit als Funktion der Bias-Spannung bei jener Spannung, bei der eines der chemischen Potentiale der Kontakte das Energieniveau des inzelelektronentransistors überquert. Im Hauptteil dieser Arbeit werden wir letztere Größe als die Energiedifferenz zwischen dem besetzten und dem leeren Vielelektronenzustand des Quantenpunktes bezeichnen. Die Breite dieser Resonanz ist - so, wie sie durch die zweite Ordnung erhalten wird - ausschließlich durch die thermische Energie k_B * T bestimmt. Mit kleiner werdender Temperatur wird jedoch die Breite der Resonanz zunehmend durch die Tunnelkopplung und immer weniger durch die Temperatur bestimmt. Dieses Verhalten wird durch die DSO korrekt beschrieben, während die zweite Ordnung allein dieses Regime niedrigerer Temperaturen nicht abdeckt. Darüber hinaus produziert die DSO, wenn man sie auf das Single Impurity Anderson Model (SIAM) anwendet, und wenn das entartete Niveau des SIAM unterhalb der Fermi-Energie der Kontakte liegt, eine Resonanz bei der Bias-Spannung Null; diese Resonanz wird mit verminderter Temperatur immer deutlicher. Wir zeigen, dass die DSO das Einsetzen des Kondo-Effekts in Quantenpunkten qualitativ korrekt beschreibt. Wir vergleichen die Ergebnisse einer numerischen Implementierung der DSO mit den Ergebnissen einer eng verwandten theoretischen Methode - der Resonant Tunneling Approximation - sowie mit den Ergebnissen von Experimenten.
Teile der Dissertation wurden in veränderter Form im Artikel.... veröffentlicht