Much Ado About Nothing: the Mixed Models Controversy Revisited

Summary We consider a well-known controversy that stems from the use of two mixed models for the analysis of balanced experimental data with a fixed and a random factor. It essentially originates in the different statistics developed from such models for testing that the variance parameter associated to the random factor is null. The corresponding hypotheses are interpreted as that of null random factor main effects in the presence of interaction. The controversy is further complicated by different opinions regarding the appropriateness of such hypothesis. Assuming that this is a sensible option, we show that the standard test statistics obtained under both models are really directed at different hypotheses and conclude that the problem lies in the definition of the main effects and interactions. We use expected values as in the fixed effects case to resolve the controversy showing that under the most commonly used model, the test usually associated to the inexistence of the random factor main effects addresses a different hypothesis. We discuss the choice of models, and some further problems that occur in the presence of unbalanced data. Resume Nous considerons une controverse bien-connue provenant de l'emploi de deux modeles mixtes avec un facteur fixe et un facteur aleatoire pour l'analyse de donnees experimentales. Le probleme provient essentiellement des statistiques differentes developpees a partir de ces modeles pour tester que le parametre de variance associe au facteur aleatoire est nul. Les hypotheses correspondantes sont interpretees comme celles de l'inexistence de l'effet principal du facteur aeatoire en presence de l'interaction entre les deux facteurs. La controverse est rendue plus complexe encore par les differentes opinions sur la propriete de cette hypothese. En admettant que le choix est sense, nous montrons que les statistiques usuelles obtenues a partir des deux modeles a s'adressent reellement a des hypotheses differentes et nous arrivons a la conclusion que le probleme est cause par les definitions des effets principaux et de l'interaction. Nous utilisons des valeurs moyennes comme dans le cas de modeles a effets fixes pour resoudre la controverse et nous montrons que selon le modele plus utilise, le test generalement associe a l'inexistence de l'effet principal du facteur aleatoire en presence de l'interaction s'adresse, en realite, a une hypothese differente. Nous discutons du choix des modeles et d'autres problemes qui interviennent en presence de donnees non-equilibrees.