Nichtparametrische Varianzschätzung

Im heteroskedastischen nichtparametrischen Regressionsmodell mit unbekanntem Erwartungswert f und Varianz V werden Probleme bezueglich der Varianz V untersucht. Im ersten Teil dieser Dissertation wird davon ausgegangen, dass die Varianz V Hoelder-stetig ist. Eine obere Schranke fuer das gleichmaessige Risiko mit einem linearen Schaetzer wird abgeleitet, wobei die Gausssche Approximation der Partialsummen unter Abhaengigkeit aus Berkes et al. (2014) und das Dudleys Theorem aus van der Vaart and Wellner (1996) genutzt werden. Gleichmaessige Bootstrap-Konfidenzbaender werden konstruiert und ihre asymptotisch korrekte Ueberdeckungswahrscheinlichkeit wird durch die Antikonzentrationsungleichung von Chernozhukov et al. (2014) verifiziert. Die asymptotische Normalitaet wird durch den zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller fuer m-abhaengige Variablen hergestellt, der von Janson (2021) bewiesen wird. In der Simulation werden zuerst die Resultate fuer die gleichmaessige Konvergenzrate und die gleichmaessigen Bootstrap-Konfidenzbaender mit der Orakel-Bandbreite dargestellt. Durch die Anwendung des Zwei-Schritte-Algorithmus von Bissantz et al. (2007) zur Auswahl der Bandbreite sowie einem zusaetzlichen Kalibrierungsprozess koennen zufriedenstellende Ergebnisse der gleichmaessigen Konfidenzbaender in endlichen Stichproben erhalten werden. Der zweite Teil beschaeftigt sich mit dem Fall eines Sprunges (Kink) in der Varianzfunktion V oder einer ihrer Ableitungen. Die Zero-Crossing-Time-Technik, die in Bengs and Holzmann(2019a) angewendet wird, wird auf die Varianzfunktion V uebertragen, um das punktweise Risiko fuer die Position und Groesse des Kinks zu ermitteln. Fuer die untere Schranke werden das Two-Point-Testing-Argument aus Tsybakov (2009) sowie die Moment-Matching-Technik aus Wang et al. (2008) angewendet, um die optimale Konvergenzrate abzuleiten. Die asymptotische Normalitaet fuer die Schaetzer der Position und Groesse des Kinks wird durch den zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller fuer m-abhaengige Variablen - bewiesen von Janson (2021) - hergestellt. Im dritten Teil wird das heteroskedastische nichtparametrische Regressionsmodell in der Funktionaldatenanalyse (FDA) betrachtet, wobei unabhaengige Kopien des Zufallprozesses Z im Modell beteiligt sind. Unter Verwendung eines linearen Schaetzers, der durch die differenz-basierte Methode aus Wang et al. (2008) konstruiert wird, wird eine obere Schranke fuer das gleichmaessige Risiko der Varianz des zufaelligen Rauschens hergeleitet. Dazu werden die Gausssche Approximation der Partialsummen unter Abhaengigkeit aus Berkes et al. (2014) und das Dudleys Theorem aus van der Vaart and Wellner (1996) verwendet. Die gleichmaessige Konvergenzrate wird durch eine numerische Simulation bestaetigt, wobei die Fehlerzerlegung mit der Orakel-Bandbreite dargestellt wird. Zufriedenstellende Ergebnisse in endlichen Stichproben koennen mittels K-Fold Crossvalidations und des Zwei-Schritte-Algorithmus von Bissantz et al. (2007) erreicht werden.
For the heteroscedastic nonparametric regression model with unknown mean function f and variance function V, problems regarding the variance function V are considered. In the first part of this dissertation, assuming the variance function V is Hoelder continuous, an upper bound on uniform error rate for a linear estimator is derived, using Gaussian approximation of partial sums under dependency results from Berkes et al. (2014), and Dudley's entropy bound as in van der Vaart and Wellner (1996). Bootstrap uniform confidence bands are also constructed and their asymptotically correct coverage property is verified through anti-concentration inequality by Chernozhukov et al. (2014). The asymptotic normality is established through the Lindeberg-Feller central limit theorem for m-dependent variables by Janson (2021). In the simulation study, the theorem of uniform rate and bootstrap confidence bands are first illustrated with oracle bandwidth. Using the two-step algorithm proposed by Bissantz et al. (2007) for bandwidth selection as well as an additional calibration process, one can obtain satisfactory performance of uniform confidence bands in finite samples. In the second part, we consider the case where a discontinuity point (kink) on the variance function V or its derivative is present. The zero-crossing-time technique used in Bengs and Holzmann (2019a) is applied to the variance function V, to study the pointwise error of kink location and size. For the lower bounds, the two-point testing argument in Tsybakov (2009) and the moment matching technique in Wang et al. (2008) are employed, to derive the optimal rate of convergence. The asymptotic normality for kink location and size estimators is established through the Lindeberg-Feller central limit theorem for m-dependent variables by Janson (2021). In the third part, the heteroscedastic nonparametric regression model in functional data analysis (FDA) is considered, where independent copies of the random process Z are involved in the model. Using a linear estimator constructed through difference-based method from Wang et al. (2008), an upper bound on uniform error rate for random noise variance V is derived, using Gaussian approximation of partial sums under dependency results from Berkes et al. (2014), and Dudley's entropy bound as in van der Vaart and Wellner (1996). The uniform error rate is confirmed by numerical results with error decomposition using oracle bandwidth. Applying K-fold crossvalidation and the two-step algorithm proposed by Bissantz et al. (2007), the estimator shows satisfactory performance in finite samples.