Численная идентификация порядка дробной производной по времени модели субдиффузии

В последние годы при математическом моделировании в различных областях науки широкое распространение получили начально-краевые прямые и обратные задачи с дробными производными. Они используются в классической и квантовой физике, теории поля, механике деформируемого твердого тела, механике жидкости и газа, общей химии, нелинейной биологии, стохастическом анализе, нелинейной теории управления и обработке изображений. В работе рассматривается одномерная математическая модель аномальной диффузии, в которой определению подлежит порядок дробной производной по времени. Задача относится к классу обратных задач. В качестве условия переопределения задан интеграл решения задачи в финальный момент времени с неотрицательным весовым коэффициентом. Дискретный аналог поставленной задачи строится конечно-разностным методом, для приближенного вычисления определенного интеграла (условия переопределения) использована квадратурная формула трапеций. Для численной реализации полученной системы нелинейных уравнений используется итерационный метод секущих.
In recent years, initial boundary value direct and inverse problems with fractional derivatives have become widespread for mathematical modeling in various fields of science. They are used in classical and quantum physics, field theory, solid mechanics, fluid and gas mechanics, general chemistry, nonlinear biology, stochastic analysis, nonlinear control theory, and image processing. The paper considers a one-dimensional mathematical model of anomalous diffusion, in which the order of the fractional time derivative is to be determined. The problem belongs to the class of inverse problems. The integral of the solution of the problem at the final moment of time with a non-negative weighting coefficient is given as a condition for redefinition. A discrete analogue of the problem posed is constructed by the finite-difference method; for the approximate calculation of a definite integral (overdetermination condition), the quadrature formula of trapezoids is used. For the numerical implementation of the obtained system of nonlinear equations, the iterative secant method is used.
Журнал «Математические заметки СВФУ», Выпуск 4 (108) 2020, Pages 60-71