Simulations of the glasma in 3+1D

Das Glasma ist ein gluonischer Zustand, welcher in relativistischen Schwerionenkollisionen erzeugt werden kann und nur f��r sehr kurze Zeit existiert, bevor er in das Quark-Gluon-Plasma zerf��llt. Die Existenz des Glasmas ist eine Vorhersage des Farbglaskondensats (engl. ���color glass condensate��� (CGC)). Das CGC ist eine klassische effektive Theorie, welche direkt aus der fundamentaleren Theorie der Quantenchromodynamik abgeleitet werden kann. In vielen analytischen und numerischen Rechnungen im Rahmen des CGCs kommt die boost-invariante N��herung zur Anwendung. In dieser N��herung nimmt man an, dass die d��nne longitudinale Ausdehnung von Atomkernen (also der Lorentz-kontrahierte Durchmesser entlang der Strahlachse bzw. Bewegungsrichtung) infinitesimal ist. Eine Konsequenz dieser N��herung ist, dass das erzeugte Glasma invariant unter Lorentz-Boosts wird und somit effektiv in 2+1 Dimensionen beschrieben werden kann. Observablen, also im Prinzip beobachtbare Gr����en wie die Energiedichte, die Druckkomponenten und die Gluonenbesetzungszahl, sind dadurch per constructionem unabh��ngig von der Rapidit��tskoordinate. Das Thema dieser Dissertation ist eine neue Methode zu entwickeln, mit der man die Annahme der Boost-Invarianz lockern und umgehen kann. Ich beginne mit einer Diskussion ��ber die physikalischen Eigenschaften des Glasmas und des CGCs im boost-invarianten Fall. Als einfaches Modell f��r gro��e, schwere Atomkerne kommt das McLerran-Venugopalan-Modell (MV) zum Einsatz. Die Yang-Mills-Gleichungen, welche die Dynamik des Glasmas bestimmen, k��nnen im Allgemeinen nicht analytisch gel��st werden. Numerische L��sungsmethoden sind somit oft der einzige verl��ssliche Weg, um das Glasma zu untersuchen. Daher wird Echtzeit-Gittereichtheorie ben��tigt, welche die Standardmethode zur numerischen L��sung der Yang-Mills-Gleichungen darstellt. Nach dieser Einf��hrung in die Standardwerkzeuge, welche verwendet werden, um das boost-invariante Glasma zu beschreiben, liegt der Fokus auf der Entwicklung einer numerischen Methode f��r den Fall, dass Boost-Invarianz nicht mehr gilt, also wenn man f��r relativistische Atomkerne eine kleine, aber endliche Ausdehnung entlang der Bewegungsrichtung annimmt. Diese kleine ��nderung f��hrt dazu, dass viele Annahmen und Vereinfachungen, die noch im boost-invarianten Fall verwendet werden konnten, nicht mehr g��ltig sind. Inbesondere muss die Kollision im Laborbzw. Schwerpunktsystem in drei r��umlichen Dimensionen beschrieben werden, anstelle des sich mit dem Glasma mitbewegenden Koordinatensystems im boost-invarianten Szenario. Dieser Koordinatensystemwechsel erfordert unter anderem, dass die Farbladungen der Atomkerne explizit ber��cksichtigt werden m��ssen. In numerischen Simulationen gelingt das mit der Particle-in-Cell-Methode, verallgemeinert auf Farbladungen. Die neue numerische Methode wird getestet, indem Kollisionen von Kernen mit endlicher Dicke simuliert werden. Als Anfangsbedingung f��r diese Simulationen dient ein erweitertes MV-Modell, welches einen neuen Parameter f��r longitudinale Ausdehnung besitzt. Es wird gezeigt, dass die neue Methode das boost-invariante Szenario als Grenzfall beschreiben kann. Weiters wird auch die Anisotropie der Druckkomponenten des dreidimensionalen Glasmas untersucht, wobei nur wenige Unterschiede zum boost-invarianten, zweidimensionalen Glasma festgestellt werden k��nnen. Anders verh��lt es sich mit der Brechung der Boost-Invarianz: betrachtet man die Energiedichte des Glasmas im lokalen Ruhesystem, kann eine starke Rapidit��tsabh��ngigkeit festgestellt werden, welche durch die Dicke der kollidierenden Kerne beeinflusst wird. Im Vergleich mit experimentellen Resultaten von echten Kollisionsexperimenten zeigt sich, dass mit diesem sehr einfachen Modell realistische Rapidit��tsprofile erzeugt werden k��nnen. Die numerische Methode, welche f��r dreidimensionale Kollisionssimulationen entwickelt wurde, ist auf die Wahl der Simulationsparameter sensibel und kann in gewissen F��llen instabil werden. Die Ursache dieser numerischen Instabilit��t wurde identifiziert und eine Erweiterung der urspr��nglichen Methode entwickelt, welche sich als stabil erweist. Es wird gezeigt, dass diese neue Methode eichkovariant ist und das Gau��sche Gesetz w��hrend der Simulation auch f��r gro��e Zeitschritte erf��llt bleibt.
The Glasma is a gluonic state of matter which can be created in collisions of relativistic heavy ions. It only exists for a short period of time before it evolves into the quark-gluon plasma. The existence of the Glasma is a prediction of a first-principles classical effective theory of high energy quantum chromodynamics called the color glass condensate (CGC). In many analytical and numerical calculations within the CGC framework, the boost invariant approximation is employed. It assumes that the Lorentz-contracted longitudinal extent of the nuclei can be approximated as infinitesimally thin. Consequently, the Glasma produced from such a collision is boost invariant and can be effectively described in 2+1 dimensions. Observables of interest such as energy density, pressure or gluon occupation number of the boost invariant Glasma are by construction independent of rapidity. The main topic of this thesis is to study how the assumption of infinitesimally thin nuclei can be relaxed. First, we discuss the properties of the CGC and Glasma by starting with the boost invariant case. The McLerran-Venugopalan (MV) model is used as a simple model for large heavy nuclei. The Yang-Mills equations, which govern the dynamics of the Glasma, generally cannot be solved analytically. Numerical solutions to these equations are therefore often the only reliable approach to studying the Glasma. We discuss the methods of real time lattice gauge theory, which are the usual approach to numerically solving the Yang-Mills equations in a gauge-covariant manner. Having established the standard tools used to describe the boost invariant Glasma, we focus on developing a numerical method for the non-boost-invariant setting where nuclei are assumed to be thin, but of finite longitudinal extent. This small change is in conflict with a number of simplifications and assumptions that are used in the boost invariant case. In particular, one has to describe the collisions in 3+1 dimensions in the laboratory or center-of-mass frame, compared to the co-moving frame of the traditional method. The change of frame forces the explicit inclusion of the color charges of nuclei. In numerical simulations this is achieved using the colored particle-in-cell method. The new method is tested using a version of the MV model which includes a parameter for longitudinal thickness. It reproduces the boost invariant setting as a limiting case. Studying the pressure components of the Glasma, one finds that the Glasma in 3+1 dimensions does not differ much from the boost invariant case and that the pressure anisotropy remains large. On the other hand, one finds that the energy density of the Glasma depends on rapidity due to the explicit breaking of boost invariance. The width of the observed rapidity profiles is controlled by the thickness of the colliding nuclei. Using only a very simple model for nuclei, the profiles can be shown to agree with experimental data. If simulation parameters are not carefully chosen, the numerical scheme employed in the 3+1D method suffers from a numerical instability. To eliminate this instability, a completely new numerical scheme for real-time lattice gauge theory is developed. This new scheme is shown to be gauge-covariant and conserves the Gauss constraint even for large time steps.