Vertauschung von Grenzprozessen

Im Zentrum dieser Masterarbeit steht die Vertauschung von Grenzprozessen. Diese Arbeit basiert weitgehend auf Literaturrecherchen, wobei sich ein großer Teil dieser Masterarbeit auf die Erkenntnissen von [BF00], [For], [Heu09] und [Rol18] bezieht. Beispiele und Ergänzungen wurden aus [Dei21], [FK], [Fri], [Fri13], [GRS], und [Las12] verwendet, sowie vom Vorlesungsskript „Analysis in einer Variable für das Lehramt (2017)“ von Dr. Franz Embacher. An Vorkenntnissen werden die Grundlagen der Analysis und die Vollständigkeit von der reellen Zahlen R vorausgesetzt. Das Ziel der Arbeit ist zu zeigen, ob bei der Vertauschung von Folgengrenzwert und Funktionengrenzwert bzw. bei der Vertauschung von Integration bzw. Differentiation und Grenzübergang die gleichen Resultate liefern. Zur Beantwortung dieser Fragen wird die Arbeit in vier Teile gegliedert, wobei die ersten drei Kapitel das Gerüst bilden. Diese Kapitel behandeln hauptsächlich wichtige Begriffe aus den Bereichen „Folgen und Reihen“, „Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen“ und „Differentiation und Integration von Funktionen“, die für den Hauptteil der Arbeit relevant sind. Im ersten Kapitel werden grundlegende Begriffe und Eigenschaften von Folgen und Grenzwerte bearbeitet. Im zweiten Kapitel werden kurz Funktioneneigenschaften eingeführt, allerdings liegt der Schwerpunkt auf Grenzwerte von Funktionen, gleichmäßige Stetigkeit und Stetigkeitssätze. Im dritten Kapitel werden die Themen „Differentiation und Integration von Funktionen“ und “der Hauptsatz der Analysis“ behandelt, wobei die ausgewählten Inhalte sich auf den Schwerpunkt der Arbeit beziehen. Der letzte Teil ist der Hauptteil dieser Arbeit, welcher sich mit der Vertauschung von Grenzprozessen auseinandersetzt. Anfänglich werden die Probleme beim Vertauschen von Grenzprozessen gezeigt, anschließend werden die Themen Funktionenfolgen, Funktionenreihen, punktweise und gleichmäßige Konvergenz behandelt. Der letzte Abschnitt zeigt unter welchen Bedingungen die Vertauschung von Grenzwertbildung und Differentiation; Grenzwertbildung und Integration und die Vertauschung von Folgengrenzwert und Funktionengrenzwert stattfinden können.