Some exact results on the sample autocovariances of a seasonal ARIMA model

A seasonal random walk is an ARIMA process such that the first difference of order s (s ≥ 1) is a white noise. Given a series of observations from a particular linear transformation of a seasonal random walk, we study the autocovariances c'(k) based on uncentered data and the autocovariances c(k) based on centered data. In both cases, we provide exact, explicit formulae for the mean, variance, and covariance of the sample autocovariances. It is seen that the moments of the c(k)'s are different from those of the c'(k)'s, even asymptotically. Several analytical results presented in the paper were derived by using a symbolic manipulation program. Une promenade aleatoire saisonniere est un processus ARIMA pour lequel une premiere difference d'ordre s (s ≥ 1) produit un bruit blanc. Dans le contexte ou les donnees proviennent d'une transformation lineaire particuliere d'une promenade aleatoire saisonniere, nous etudions les autocovariances c'(k), basees sur des donnees non centrees, de měme que les autocovariances c(k), basees sur des donnees centrees. Dans les deux cas, nous fournissons des formules exactes et explicites pour la moyenne et la variance des autocovariances echantillonnales de měme que la covariance entre deux autocovariances dont les delais sont des multiples de la periode. Nous constatons que les moments de c(k) different de ceux de c'(k), et ce, měme asymptotiquement. Plusieurs resultats analytiques ont ete obtenus a l'aide d'un programme de manipulation symbolique.