The importance of backscattering in high-energy electron diffraction calculations

The Schrodinger equation, describing the motion of a high-energy electron in a crystal foil, can be solved exactly with appropriate boundary conditions. The formal analytical solution in matrix form however is not suitable for numerical calculations but can be expanded in a series of terms proportional to subsequent powers of the electron wavelength. In the case of fast electron scattering, the electron wavelength decreases so that, to a good approximation, the series can be cut off after the low order terms, yielding a relatively simple expression. This expression reveals two corrections to the dynamical solution of Howie and Whelan, which was obtained by neglecting second order derivative terms in the Schrudinger equation. From an analysis of these corrections, an investigation of the validity of the Howie-Whelan solntion could be performed as function of the cqwtal thickness and an estimation for the thickness limit could be derived. Die Schrodingergleichung, die die Bewegung eines Elektrons hoher Energie in einer Kristallschicht beschreibt, last sich mit geeigneten Randbedingungen exakt losen. Die formale analytische Losung in Matrixform ist nicht geeignet fur numerische Rechnungen, last sich jedoch in eine Reihe von Termen entwickeln, die wachsenden Exponenten der Elektronenwellenlange proportional sind. Im Falle der Streuung schneller Elektronen nimmt die Elektronenwellenlange so ab, das in guter Naherung die Reihe nach den Termen niedriger Ordnung abgebrochen merden kann und sich ein relativ einfacher Ausdruck ergibt. Dieser Ausdruck ergibt zwei Korrekturen zur dynamischen Losung von Howie und Whelan, die durch Vernachllassigung von zweiten Ableitungen in der Schrodingergleichung erhalten wurde. Aus der Analyse dieser Korrekturen kann eine Untersuchung der Gultigkeit der Howie-Whelan-Losung in Abhlangigkeit von der Kristalldicke durchgefuhrt und eine Berechnung der Grenzdicke abgeleitet merden.