Über eine Funktion von drei Winkeln, deren erste Abgeleiteten ebenfalls als Winkel anzusehen und durch algebraische Relationen ihrer Kosinus zu denen der Unabhängigen bestimmt sind

Wenn im folgenden alle Winkel zwischen 0 und π und alle Quadratwurzeln positiv angenommen werden und man setzt $$\begin{gathered} \cos a = \frac{{\sin \alpha \cos \gamma }} {{\sqrt {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\beta } }}, \hfill \\ \cos b = \frac{{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }} {{\sqrt {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\beta } \sqrt {{{\sin }^2}\gamma - {{\cos }^2}\beta } }}, \hfill \\ \cos c = \frac{{\sin \gamma \cos \alpha }} {{\sqrt {{{\sin }^2}\gamma - {{\cos }^2}\beta } }} \hfill \\ \end{gathered} $$ so wird man die drei Bedingungen dafur, das die Formel $$ad\alpha + bd\beta + cd\gamma $$ ein vollstandiges Differential sei, erfullt finden. Wir bezeichnen das Integral mit f(α, β, γ) und bestimmen seine Konstante dadurch, das wir es fur $$\sin \alpha \sin \gamma = \cos \beta $$ verschwinden lassen, weil es dann zugleich mit seinen Abgeleiteten a, b, c verschwindet. Aus dieser Definition erhellt, das die Funktion f ihren Wert nicht andert, wenn man die ausern Argumente α und γ vertauscht; das heist, es ist $$f\left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right) = f\left( {\lambda ,\beta ,\alpha } \right)$$ .