Contributions to stochastic numerics: simulation of infinite dimensional, multiscale and metastable processes

The works reported in this manuscript combine probabilistic models, tools from analysis of partial differential equations and numerical methods, and go from theoretial analysis to applications (in physics, astrophysics and biology), supplemented with numerical experiments.The first part is about analysis of numerical schemes for stochastic partial differential equations. First, we obtain rates of convergence in a weak sense, mainly exploiting regularity properties of infinite dimensional Kolmogorov equations. For some equations with polynomial nonlinearities (Allen-Cahn and Schr\"odinger), we propose splitting schemes and study their speed of convergence. Finally, we study the large time behavior of numerical schemes, with the objective to approximate the invariant distribution: in particular we provide higher order methods for this problem. The results are based on theoretical analysis and numerical investigation.The second part is devoted to the study of some multiscale stochastic systems. On the one hand, we study the rate of convergence in the averaging principle for some SPDE systems, and an efficient numerical method is proposed. On the other hand, we provide the construction and analysis of some asymptotic preserving schemes for SDE and SPDE systems in averaging and diffusion approximation regimes.The third part deals with two Monte Carlo methods to sample rare events, applied to metastable processes. First, we introduce a generalized version of the Adaptive Multilevel Splitting algorithms, used to estimate probabilities or rare events. We study some theoretical properties (unbiasedness) and various applications. Second, we study the consistency of adaptive biasing techniques to sample from multimodal distributions, using self-interacting dynamics.
Les travaux rapportés dans ce manuscrit combinent des modèles probabilistes, des outils issus de l'analyse des équations aux dérivées partielles et des méthodes numériques, et vont de l'analyse théorique aux applications (en physique, astrophysique et biologie), complétées par des expériences numériques.La première partie porte sur l'analyse des schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles stochastiques. Tout d'abord, nous obtenons des taux de convergence dans un sens faible, en exploitant principalement les propriétés de régularité des équations de Kolmogorov de dimension infinie. Pour certaines équations avec des non-linéarités polynomiales (Allen-Cahn et Schrödinger), nous proposons des schémas de fractionnement et étudions leur vitesse de convergence. Enfin, nous étudions le comportement en grand temps des schémas numériques, dans le but d'approximer la distribution invariante : en particulier, nous fournissons des méthodes d'ordre supérieur pour ce problème. Les résultats sont basés sur une analyse théorique et une investigation numérique.La deuxième partie est consacrée à l'étude de certains systèmes stochastiques multi-échelles. D'une part, nous étudions le taux de convergence du principe de moyenne pour certains systèmes SPDE, et une méthode numérique efficace est proposée. D'autre part, nous fournissons la construction et l'analyse de certains schémas de préservation symptotique pour les systèmes SDE et SPDE dans les régimes d'approximation de moyenne et de diffusion.La troisième partie traite de deux méthodes de Monte Carlo pour échantillonner les événements rares, appliquées aux processus métastables. Tout d'abord, nous introduisons une version généralisée des algorithmes Adaptive Multilevel Splitting, utilisés pour estimer les probabilités ou les événements rares. Nous étudions certaines propriétés théoriques (absence de biais) et diverses applications. Deuxièmement, nous étudions la cohérence des techniques de biais adaptatifs pour échantillonner des distributions multimodales, en utilisant des dynamiques auto-interactives.