Parcimonie, problèmes inverses et échantillonnage compressé

Les standards actuels pour compresser de la musique, de l'image ou de la vidéo (MP3, JPG ou MPEG) utilisent tous des méthodes issues de l'approximation non-linéaire. Ces méthodes calculent une approximation des données initiales à l'aide d'une combinaison linéaire d'un faible nombre de fonctions élémentaires (comme par exemple des sinusoïdes ou des ondelettes). Ces méthodes, initialement utilisées pour l'approximation, le débruitage ou la compression, ont été appliquées plus récemment à des problèmes plus difficiles, tels que l'augmentation de la résolution ou l'inversion d'opérateurs en imagerie médicale. Ces extensions nécessitent la résolution de problèmes d'optimisation de grande dimension, et sont le sujet d'une intense activité de recherche. Une des dernières avancées dans ce domaine, l'échantillonnage compressé, utilise la théorie des matrices aléatoires afin d'obtenir des garanties théoriques pour la performance de ces techniques. L'échantillonnage com-pressé permet d'envisager sous un angle nouveau la théorie de l'échantillonnage et de la compression de Claude Shannon. La compressibilité des données autorise en effet d'effectuer simultanément l'échantillonnage et la compression des données. Cet article présente les concepts mathématiques clés qui ont permis l'évolution de-puis l'échantillonnage classique de Shannon vers l'échantillonnage compressé. La notion de décomposition parcimonieuse, qui permet de formaliser l'idée de compressibilité de l'information, en est le fil directeur.