Réseau de Pacotte, théorie des graphes et géométrie projective

La notion de «réseau arborescent» a suscité un regain d'intérêt ces dernières années, notamment en informatique et en biologie (réseau de neurones). Cependant, cette notion est habituellement interprétée de façon extrêmement restrictive : essentielle-ment liés au traitement des données, les «réseaux arborescents» d'aujourd'hui sont des topologies de réseaux hybrides dans lesquelles des réseaux en étoile sont généra-lement interconnectés via des réseaux de bus (voir Sosinsky (2009) ; Bradley (2016)). Ces réseaux sont, le plus souvent, hiérarchiques et réguliers (voir Kromer (2017)), et chacun de leurs noeuds peut avoir un nombre arbitraire de fils. Au départ, cependant, la notion de «réseau arborescent», introduite en 1936 par le scientifique belge Julien Pacotte, était assez différente : plus générale et, en même temps, plus contrainte, elle devait en outre servir un objectif ambitieux : la reconstruction des mathématiques à partir de structures empiriques concrètes. Ordinairement mal commentée et mal comprise (notamment des philosophes), elle n'a pas eu de véritable postérité. Dans cet article, nous essayons d'abord de clarifier cette notion de «réseau arborescent» au sens de Julien Pacotte, ce qui permet d'éliminer les mauvaises interprétations auxquelles cette notion a donné lieu (voir, par exemple, Deleuze et Guattari, 1980). Nous utilisons à cette fin le langage et les concepts de la théorie des graphes et for-malisons les principales propriétés de ces réseaux qui, contrairement à ce qu'on croit, ne sont pas, en général, des arbres. Dans une seconde partie, nous tentons ensuite de suivre et d'expliquer, pas à pas, comment Pacotte comptait, à l'aide de notions empruntées à la géométrie projective, reconstruire à partir d'un tel réseau l'ensemble des mathématiques. 1