Matching and multiscale expansions for a model singular perturbation problem

International audience; We consider the Laplace-Dirichlet equation in a polygonal domain which is perturbed at the scale epsilon near one of its vertices. We assume that this perturbation is self-similar, that is, derives from the same pattern for all values of epsilon. On the base of this model problem, we compare two different approaches: the method of matched asymptotic expansions and the method of multiscale expansion. We enlighten the specificities of both techniques, and show how to switch from one expansion to the other.; On considère le problème de Laplace–Dirichlet dans un domaine polygonal qui présente une perturbation de taille ε en l'un de ses sommets. Cette perturbation est supposée auto-similaire, i.e. provient d'un motif fixe dilaté à l'échelle ε. Sur ce problème modèle, nous mettons en oeuvre deux méthodes : développements asymptotiques raccordés et développement multi-échelle. Nous mettons en évidence les particularités de chaque approche et montrons comment passer d'un développement à l'autre.