Relaxations convexes et spectrales pour les problèmes de reconstruction de phase, seriation et classement

Optimization is often the computational bottleneck in disciplines such as statistics, biology, physics, finance or economics. Many optimization problems can be directly cast in the well- studied convex optimization framework. For non-convex problems, it is often possible to derive convex or spectral relaxations, i.e., derive approximations schemes using spectral or convex optimization tools. Convex and spectral relaxations usually provide guarantees on the quality of the retrieved solutions, which often transcribes in better performance and robustness in practical applications, compared to naive greedy schemes. In this thesis, we focus on the problems of phase retrieval, seriation and ranking from pairwise comparisons. For each of these combinatorial problems we formulate convex and spectral relaxations that are robust, flexible and scalable.
L’optimisation s’avère souvent essentielle dans de nombreuses disciplines: statistiques, biologie, physique, finance ou encore économie. De nombreux problèmes d’optimisation peuvent être directement formulés dans le cadre de l’optimisation convexe, un domaine très bien étudié. Pour les problèmes non convexes, il est souvent possible d’écrire des relaxations convexes ou spectrales, i.e., d’établir des schémas d’approximations utilisant des techniques convexes ou spectrales. Les relaxations convexes et spectrales fournissent en général des garanties sur la qualité des solutions associées. Cela se traduit souvent par de meilleures performances et une plus grande robustesse dans les applications, par rapport à des méthodes gloutonnes naïves. Dans ce manuscript de thèse, nous nous intéressons aux problèmes de reconstruction de phase, de sériation, et de classement à partir de comparaisons par paires. Nous formulons pour chacun de ces problèmes des relaxations convexes ou spectrales à la fois robustes, flexibles, et adaptées à de grands jeux de données.